（满分：150分，时间：120分钟）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x \leq 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x + 3 \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( (1, 3] ) \quad B. ( [-2, 3] ) \quad C. ( [1, 3] ) \quad D. ( (1, 3) )
命题“( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 > 0 )”的否定是（ ） A. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 ) \quad B. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 ) C. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 < 0 ) \quad D. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 < 0 )
函数 ( f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-2} ) 的定义域是（ ） A. ( [1, 2) \cup (2, +\infty) ) \quad B. ( (1, +\infty) ) \quad C. ( [1, 2) ) \quad D. ( [1, +\infty) )
已知 ( a > b > 0 )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} ) \quad B. ( a^2 < b^2 ) \quad C. ( \sqrt{a} > \sqrt{b} ) \quad D. ( |a| < |b| )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
已知 ( x > 0, y > 0 )，且 ( x + 2y = 4 )，则 ( xy ) 的最大值为（ ） A. 2 \quad B. 3 \quad C. 4 \quad D. 6
函数 ( f(x) = x^2 - 4|x| + 3 ) 的单调递减区间是（ ） A. ( (-\infty, -2) ) 和 ( (0, 2) ) \quad B. ( (-2, 0) ) 和 ( (2, +\infty) ) C. ( (-\infty, -2) ) 和 ( (2, +\infty) ) \quad D. ( (-2, 2) )
若不等式 ( ax^2 + bx + 2 > 0 ) 的解集为 ( { x \mid -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{3} } )，则 ( a + b = )（ ） A. -10 \quad B. -14 \quad C. 10 \quad D. 14
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则当 ( x < 0 ) 时，( f(x) = )（ ） A. ( -x^2 - 2x ) \quad B. ( -x^2 + 2x ) \quad C. ( x^2 + 2x ) \quad D. ( x^2 - 2x )
设 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_4 6 )，( c = \log_6 9 )，则（ ） A. ( a < b < c ) \quad B. ( b < a < c ) \quad C. ( c < b < a ) \quad D. ( b < c < a )
已知函数 ( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) )，则 ( f(x) ) 是（ ） A. 奇函数 \quad B. 偶函数 \quad C. 非奇非偶函数 \quad D. 既是奇函数又是偶函数
( x ) 的方程 ( x^2 - 2ax + 4 = 0 ) 的两根均大于1，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( [2, +\infty) ) \quad B. ( (2, +\infty) ) \quad C. ( (2, \frac{5}{2}] ) \quad D. ( [\frac{5}{2}, +\infty) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{2}{3}} + \log_3 18 - \log_3 2 = )__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - m - 1)x^{m^2 - 2m - 3} ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递减，则 ( m = )__。
已知函数 ( f(x) = \frac{2x}{x+1} ) 在区间 ( [1, 3] ) 上的值域为__。
若正实数 ( x, y ) 满足 ( x + y = 1 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{4}{y} ) 的最小值为__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid 3 \leq x < 7 } )，( B = { x \mid 2 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )，( (C_U A) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x \mid x > a } )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 5 ) (( a > 1 ))。 （1）若 ( f(x) ) 在区间 ( (-\infty, 2] ) 上单调递减，求实数 ( a ) 的取值范围； （2）当 ( a = 2 ) 时，求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [0, 3] ) 上的最大值和最小值。
（12分）解下列关于 ( x ) 的不等式： （1）( \frac{2x-1}{x+3} \geq 1 )； （2）( a x^2 - (a+1)x + 1 < 0 ) (( a \in \mathbb{R} ))。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性并证明； （2）判断函数 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的单调性并证明； （3）解不等式 ( f(2x) > f(x-1) )。
（12分）某公司计划在今年内同时生产 ( A )、( B ) 两种型号的电子产品，已知生产一件 ( A ) 产品需耗甲材料 ( 2kg )，乙材料 ( 1kg )，生产一件 ( B ) 产品需耗甲材料 ( 1kg )，乙材料 ( 3kg )，已知该公司现有甲材料 ( 100kg )，乙材料 ( 120kg )。 （1）设生产 ( A ) 产品 ( x ) 件，( B ) 产品 ( y ) 件，写出满足上述所有约束条件的不等式组； （2）若每件 ( A ) 产品可获利 ( 500 ) 元，每件 ( B ) 产品可获利 ( 800 ) 元，那么该公司应如何安排生产才能使总利润最大？最大利润是多少元？
（12分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足：对任意实数 ( x, y )，都有 ( f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy ) 成立，且 ( f(1) = 1 )。 （1）求 ( f(0) )，( f(2) ) 的值； （2）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性并证明； （3）若 ( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上单调递增，解不等式 ( f(x) + f(x-2) > 6 )。
2025年高一数学课程讲解综合测试卷（带答案）
选择题
- A \quad 2. B \quad 3. A \quad 4. C \quad 5. D \quad 6. A
- A \quad 8. B \quad 9. C \quad 10. D \quad 11. A \quad 12. C
填空题13. ( 10 ) \quad 14. ( 2 ) \quad 15. ( [1, \frac{3}{2}] ) \quad 16. ( 9 )
解答题17. （1）( A \cup B = { x \mid 2 < x \leq 10 } )，( (C_U A) \cap B = { x \mid 2 < x < 3 \text{ 或 } 7 \leq x \leq 10 } )； （2）( a \geq 10 )。
（1）对称轴 ( x = a )，需满足 ( a \geq 2 )，故 ( a \in [2, +\infty) )； （2）当 ( a=2 ) 时，( f(x) = x^2 - 4x + 5 )，对称轴 ( x=2 \in [0,3] )。 最小值为 ( f(2)=1 )，最大值为 ( f(0)=5 )。
（1）移项通分得 ( \frac{x-4}{x+3} \geq 0 )，解集为 ( (-\infty, -3) \cup [4, +\infty) )； （2）分解因式 ( (ax-1)(x-1) < 0 )。 当 ( a=0 ) 时，解集为 ( (1, +\infty) )； 当 ( a>0 ) 时，比较 ( \frac{1}{a} ) 与 ( 1 ) 的大小； 当 ( a<0 ) 时，解集为 ( (-\infty, \frac{1}{a}) \cup (1, +\infty) )。
（1）奇函数，证明：定义域为 ( \mathbb{R} )，( f(-x) = \frac{2^{-x}-1}{2^{-x}+1} = \frac{1-2^x}{1+2^x} = -f(x) )。 （2）增函数，证明：设 ( x_1 < x_2 )，计算 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2(2^{x_1}-2^{x_2})}{(2^{x_1}+1)(2^{x_2}+1)} < 0 )。 （3）由单调性得 ( 2x > x-1 )，解得 ( x > -1 )。
（1）不等式组： ( \begin{cases} 2x + y \leq 100 \ x + 3y \leq 120 \ x \geq 0, y \geq 0 \ x, y \in \mathbb{N} \end{cases} ) （2）目标函数：( z = 500x + 800y )。 作图求解，在可行域顶点处取得最大值。 联立 ( 2x+y=100 ) 与 ( x+3y=120 )，解得 ( x=36, y=28 )。 最大利润 ( z = 500 \times 36 + 800 \times 28 = 18000 + 22400 = 40400 ) 元。
（1）令 ( x=y=0 )，得 ( f(0) = 2f(0) )，故 ( f(0)=0 )。 令 ( x=y=1 )，得 ( f(2) = f(1) + f(1) + 2 = 4 )。 （2）令 ( y=-x )，得 ( f(0) = f(x) + f(-x) - 2x^2 )，即 ( f(-x) = 2x^2 - f(x) )。 非奇非偶函数（举例：( f(1)=1, f(-1)=2\times1^2 - 1 = 1 )，为偶函数？验证：若为偶，则 ( f(-x)=f(x) )，代入得 ( f(x)=x^2 )，满足原方程，故为偶函数）。 （3）由（2）及条件可推测 ( f(x) = x^2 )（需证明唯一性，此处略），则不等式化为 ( x^2 + (x-2)^2 > 6 )，即 ( 2x^2 - 4x - 2 > 0 )，解得 ( x < 1-\sqrt{2} ) 或 ( x > 1+\sqrt{2} )。