本试卷旨在全面考查学生对高中数学核心知识、思想方法和关键能力的掌握情况，试卷结构遵循“基础性、综合性、应用性、创新性”相结合的原则,注重在具体情境中考查数学素养。
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = ) （ ） A. ( (0, 3) ) \quad B. ( (0, 3] ) \quad C. ( [-2, 4] ) \quad D. ( [0, 3) )
若复数 ( z ) 满足 ( z(1 + i) = 2i )（( i ) 为虚数单位），则 ( z ) 的共轭复数 ( \overline{z} = ) （ ） A. ( 1 + i ) \quad B. ( 1 - i ) \quad C. ( -1 + i ) \quad D. ( -1 - i )
已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，且 ( (\vec{a} + \vec{b}) \perp \vec{a} )，则实数 ( m = ) （ ） A. ( -\frac{5}{2} ) \quad B. ( \frac{5}{2} ) \quad C. ( -5 ) \quad D. ( 5 )
函数 ( f(x) = \frac{\ln|x|}{x} ) 的图象大致是 （ ） （此处应配有四个函数图象选项，主要考查函数奇偶性、单调性及渐近线）
在 ( (x - \frac{2}{\sqrt{x}})^6 ) 的展开式中，常数项为 （ ） A. ( 60 ) \quad B. ( -60 ) \quad C. ( 160 ) \quad D. ( -160 )
已知直线 ( l: y = kx + 1 ) 与圆 ( C: (x-2)^2 + (y-3)^2 = 4 ) 相交于 ( A, B ) 两点，若 ( |AB| = 2\sqrt{3} )，则 ( k = ) （ ） A. ( 0 ) 或 ( \frac{4}{3} ) \quad B. ( 0 ) 或 ( \frac{3}{4} ) \quad C. ( 1 ) 或 ( \frac{4}{3} ) \quad D. ( 1 ) 或 ( \frac{3}{4} )
已知 ( \alpha, \beta ) 为锐角，且 ( \sin(\alpha - \beta) = \frac{1}{3} )，( \cos\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3} )，则 ( \sin\beta = ) （ ） A. ( \frac{4\sqrt{2} - 1}{6} ) \quad B. ( \frac{4\sqrt{2} + 1}{6} ) \quad C. ( \frac{4 - \sqrt{2}}{6} ) \quad D. ( \frac{4 + \sqrt{2}}{6} )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} e^x - 1, & x \leq 1 \ \ln x + a, & x > 1 \end{cases} ) 的值域为 ( R )，则实数 ( a ) 的取值范围是 （ ） A. ( (-\infty, 0] ) \quad B. ( [0, +\infty) ) \quad C. ( (-\infty, e-1] ) \quad D. ( [e-1, +\infty) )
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
已知一组样本数据 ( x_1, x2, ..., x{10} ) 的平均数为 ( \bar{x} )，标准差为 ( s )，下列说法正确的是 （ ） A. 若 ( y_i = 2x_i + 3 ) (( i = 1, 2, ..., 10 ))，则新数据的平均数为 ( 2\bar{x} + 3 )，标准差为 ( 2s ) B. 若这组数据的第60百分位数是 ( m )，则数据中至少有6个数小于或等于 ( m ) C. 若去掉一个最小和一个最大的数据，则新数据的标准差一定比原数据的标准差小 D. 若所有数据都增加同一个常数，则数据的方差不变
已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则 （ ） （此处应配有一幅正弦型函数图象，标出关键点坐标，如 ( (\frac{\pi}{6}, 1) )，( (\frac{5\pi}{12}, 0) ) 等） A. ( \omega = 2 ) B. ( \varphi = \frac{\pi}{6} ) C. 函数 ( f(x) ) 在区间 ( [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{12}] ) 上单调递增 D. 将函数 ( f(x) ) 的图象向右平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位后，得到的函数图象关于 ( y ) 轴对称
如图，在棱长为2的正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，点 ( P ) 在线段 ( B_1C ) 上运动，则 （ ） （此处应配有正方体图形） A. 异面直线 ( AP ) 与 ( A_1D ) 所成角的范围是 ( (\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}] ) B. 三棱锥 ( P-ACD_1 ) 的体积为定值 C. 当点 ( P ) 为 ( B_1C ) 的中点时，直线 ( AP ) 与平面 ( ACD_1 ) 所成角的正弦值为 ( \frac{\sqrt{6}}{6} ) D. 当 ( AP + PD_1 ) 最小时，点 ( P ) 是线段 ( B_1C ) 的中点
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1 (a > 0) ) 的一条渐近线方程为 ( y = \frac{3}{2}x )，则该双曲线的离心率为__。
已知 ( \triangle ABC ) 的内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且满足 ( \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\sin C}{c} )，则 ( \cos C ) 的最小值为__。
已知定义在 ( R ) 上的函数 ( f(x) ) 满足 ( f(x+2) = -f(x) )，且当 ( x \in [0, 2) ) 时，( f(x) = 2^x - 1 )，若函数 ( g(x) = f(x) - \log_a |x| ) (( a > 1 )) 在区间 ( (-6, 6) ) 内恰有5个零点，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（13分） 已知数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2a_n - 2 )。 （Ⅰ）求数列 ( {a_n} ) 的通项公式； （Ⅱ）设 ( b_n = \log_2 a_n )，求数列 ( { \frac{1}{bn \cdot b{n+1}} } ) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。
（15分） 如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是边长为2的菱形，( \angle BAD = 60^\circ )，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = 2\sqrt{3} )，点 ( E, F ) 分别为 ( PC, AB ) 的中点。 （Ⅰ）求证：( EF \parallel ) 平面 ( PAD )； （Ⅱ）求二面角 ( F-DE-A ) 的正弦值。
（15分） 已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 ) (( a \in R ))。 （Ⅰ）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性； （Ⅱ）若 ( f(x) \geq 0 ) 对任意 ( x \in [0, +\infty) ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
（17分） 某校体育节举行定点投篮比赛，甲、乙、丙三位同学进行比赛，约定：每人投篮一次，投进得2分，投不进得0分，已知甲投进的概率为 ( \frac{1}{2} )，乙投进的概率为 ( p ) (( 0 < p < 1 ))，丙投进的概率为 ( q ) (( 0 < q < 1 ))，且每人能否投进相互独立。 （Ⅰ）若 ( p = q = \frac{2}{3} )，记“三人得分之和为4分”为事件 ( A )，求事件 ( A ) 发生的概率； （Ⅱ）若三人得分之和为4分的概率为 ( \frac{1}{4} )，求证：( p + q = 1 )。
（17分） 已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )。 （Ⅰ）求椭圆 ( C ) 的标准方程； （Ⅱ）设过点 ( F(1, 0) ) 的直线 ( l ) 与椭圆 ( C ) 相交于 ( M, N ) 两点（异于椭圆顶点），点 ( A ) 为椭圆 ( C ) 的右顶点，直线 ( AM, AN ) 分别与直线 ( x = 4 ) 交于 ( P, Q ) 两点，试问：是否存在定点 ( R )，使得以 ( PQ ) 为直径的圆恒过点 ( R )？若存在，求出点 ( R ) 的坐标；若不存在,请说明理由。
2025年高中数学学业水平综合测试卷参考答案及评分标准
选择题
D \quad 2. B \quad 3. C \quad 4. （根据图象特征判断） \quad 5. D \quad 6. B \quad 7. A \quad 8. C
多选题9. ABD \quad 10. ACD \quad 11. BCD
填空题12. ( \frac{\sqrt{13}}{2} ) \quad 13. ( \frac{1}{2} ) \quad 14. ( [\sqrt[5]{4}, \sqrt[3]{4}) \cup { \sqrt[6]{64} } ) （或等价形式）
解答题15. （Ⅰ）解：当 ( n=1 ) 时，( a_1 = S_1 = 2a_1 - 2 )，解得 ( a_1 = 2 )。 当 ( n \geq 2 ) 时，( a_n = Sn - S{n-1} = (2an - 2) - (2a{n-1} - 2) = 2an - 2a{n-1} )， ( an = 2a{n-1} )。 故数列 ( {a_n} ) 是以2为首项，2为公比的等比数列，( a_n = 2^n )。 \quad （6分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 ( b_n = \log_2 2^n = n )。 ( \frac{1}{bn \cdot b{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )。 ( T_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + ... + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} )。 \quad （13分）
（Ⅰ）证明：取 ( PD ) 中点 ( G )，连接 ( AG, GF )。 ∵ ( E, G ) 分别为 ( PC, PD ) 中点，∴ ( EG \parallel CD ) 且 ( EG = \frac{1}{2}CD )。 又∵ 底面 ( ABCD ) 为菱形，( F ) 为 ( AB ) 中点，∴ ( AF \parallel CD ) 且 ( AF = \frac{1}{2}CD )。 ∴ ( EG \parallel AF ) 且 ( EG = AF )，∴ 四边形 ( AEGF ) 为平行四边形，∴ ( EF \parallel AG )。 ∵ ( AG \subset ) 平面 ( PAD )，( EF \not\subset ) 平面 ( PAD )，∴ ( EF \parallel ) 平面 ( PAD )。 \quad （6分） （Ⅱ）解：建立如图所示空间直角坐标系（略），计算相关坐标。 求得平面 ( DEF ) 的一个法向量 ( \vec{n_1} = ( \sqrt{3}, 0, 1 ) )， 平面 ( ADE )（即平面 ( xAy ) ）的一个法向量 ( \vec{n_2} = (0, 0, 1) )。 设二面角 ( F-DE-A ) 的平面角为 ( \theta )， 则 ( \cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|} = \frac{1}{2} )，∴ ( \sin\theta = \sqrt{1 - (\frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} )。 故二面角 ( F-DE-A ) 的正弦值为 ( \frac{\sqrt{3}}{2} )。 \quad （15分）
（Ⅰ）解：( f'(x) = e^x - a )。 （1）当 ( a \leq 0 ) 时，( f'(x) > 0 ) 恒成立，( f(x) ) 在 ( R ) 上单调递增。 （2）当 ( a > 0 ) 时，令 ( f'(x) = 0 )，得 ( x = \ln a )。 当 ( x \in (-\infty, \ln a) ) 时，( f'(x) < 0 )，( f(x) ) 单调递减； 当 ( x \in (\ln a, +\infty) ) 时，( f'(x) > 0 )，( f(x) ) 单调递增。 综上，... \quad （7分） （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当 ( a \leq 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上单调递增，( f(x) \geq f(0) = 0 )，恒成立。 当 ( a > 0 ) 时，若 ( \ln a \leq 0 ) 即 ( 0 < a \leq 1 )，则 ( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上单调递增，( f(x) \geq f(0) = 0 )，恒成立。 若 ( \ln a > 0 ) 即 ( a > 1 )，则 ( f(x) ) 在 ( [0, \ln a) ) 上单调递减，在 ( (\ln a, +\infty) ) 上单调递增。 此时需 ( f(\ln a) = a - a\ln a - 1 \geq 0 )。 令 ( h(a) = a - a\ln a - 1 ) (( a > 1 ))，可证 ( h(a) < h(1) = 0 )，矛盾。 综上，实数 ( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, 1] )。 \quad （15分）
解：（Ⅰ）三人得分之和为4分，即恰有两人投进一人未投进。 ( P(A) = C_3^2 \times (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}) \times 2 + C_3^2 \times (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3}) \times 1 = \frac{1}{3} )。 （注意：需考虑甲、乙、丙三人中哪两人投进，并区分概率不同） \quad （7分） （Ⅱ）设三人得分之和为4分的概率为 ( P )。 ( P = [\frac{1}{2}pq + \frac{1}{2}(1-p)(1-q)]