- 本试卷共三大题,满分120分，考试时间90分钟。
- 答题前请在指定位置填写姓名、班级。
- 所有答案需写在答题卡上,试卷上作答无效。
选择题（每题4分，共32分）
若二次函数 ( y = ax^2 + bx + c ) 的图像开口向下，且顶点在第二象限，则下列条件成立的是（ ）
A. ( a > 0, b > 0 )
B. ( a < 0, b < 0 )
C. ( a < 0, b > 0 )
D. ( a > 0, b < 0 )在等比数列 ({a_n}) 中，( a_1 = 2 )，公比 ( q = 3 )，则 ( a_5 ) 的值为（ ）
A. 162
B. 54
C. 108
D. 81已知 (\sin \theta = \frac{3}{5})，且 (\theta) 为第二象限角，则 (\tan \theta) 的值为（ ）
A. (\frac{3}{4})
B. (-\frac{3}{4})
C. (\frac{4}{3})
D. (-\frac{4}{3})若直线 ( l_1: y = kx + 2 ) 与直线 ( l_2: y = 3x - 1 ) 垂直，则 ( k ) 的值为（ ）
A. 3
B. (\frac{1}{3})
C. (-\frac{1}{3})
D. -3已知集合 ( A = {x \mid -2 \le x \le 3} )，( B = {x \mid x > 1} )，则 ( A \cap B ) 为（ ）
A. ({x \mid 1 < x \le 3})
B. ({x \mid x \ge -2})
C. ({x \mid x > 1})
D. ({x \mid -2 \le x \le 1})复数 ( z = \frac{1+i}{1-i} ) 的实部为（ ）
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2若 ( \log_2 a + \log_2 b = 3 )，则 ( ab ) 的值为（ ）
A. 6
B. 8
C. 9
D. 10从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，其和为偶数的概率为（ ）
A. (\frac{1}{5})
B. (\frac{2}{5})
C. (\frac{3}{5})
D. (\frac{4}{5})
填空题（每题5分，共30分）
9. 若 ( x^2 - 4x + 4 = 0 )，则 ( x = )__。
10. 已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (3, -1) )，则 ( \vec{a} \cdot \vec{b} = )__。
11. 不等式 ( |2x - 1| < 3 ) 的解集为__。
12. 在等差数列 ({a_n}) 中，( a_3 = 7 )，( a_7 = 15 )，则公差 ( d = )__。
13. 若圆锥底面半径为3，高为4，则其侧面积为__（保留π）。
14. 函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \ln(5-x) ) 的定义域为__。
解答题（共58分）
15. （12分）已知函数 ( f(x) = 2\sin x \cos x + \cos^2 x )。
（1）求 ( f(x) ) 的最小正周期；
（2）求 ( f(x) ) 在区间 ([0, \frac{\pi}{2}]) 上的最大值和最小值。
（14分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )，( BC = 4 )。
（1）求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )；
（2）求三棱锥 ( P-ABD ) 的体积。（16分）已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1 )。
（1）求椭圆 ( C ) 的焦点坐标和离心率；
（2）若直线 ( y = x + m ) 与椭圆 ( C ) 有公共点，求实数 ( m ) 的取值范围。（16分）已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 2 )。
（1）求 ( f(x) ) 的单调区间；
（2）若方程 ( f(x) = k ) 有三个不同的实数根，求 ( k ) 的取值范围。
参考答案
选择题
- C
- A
- B
- C
- A
- A
- B
- B
填空题
9. 2
10. 1
11. ( (-1, 2) )
12. 2
13. ( 15\pi )
14. ( [2, 5) )
解答题
15. （1）( f(x) = \sin 2x + \frac{1+\cos 2x}{2} = \sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2} )，最小正周期 ( T = \pi )；
（2）最大值为 ( \frac{3}{2} )，最小值为 ( \frac{1}{2} )。
16. （1）略（通过线面垂直判定证明）；
（2）体积 ( V = \frac{1}{3} \times S_{\triangle ABD} \times PA = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times 2 = \frac{8}{3} )。
17. （1）焦点 ( (\pm \sqrt{5}, 0) )，离心率 ( e = \frac{\sqrt{5}}{3} )；
（2）联立方程得 ( 13x^2 + 18mx + 9m^2 - 36 = 0 )，由 ( \Delta \ge 0 ) 得 ( m \in [-\sqrt{13}, \sqrt{13}] )。
18. （1）递增区间：( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) )，递减区间：( (-1, 1) )；
（2）由图像可知，当 ( f(1) < k < f(-1) ) 即 ( 0 < k < 4 ) 时，方程有三个不同实根。
试卷说明：
本试卷由“中学数学网”命题组设计，旨在检测中学数学核心知识点掌握情况，如需更多试题资源，请访问中学数学网（www.middlemath.cn）。