2025年高一数学必修一综合测试卷（依据2023人教版教材）

选择题（每小题5分，共40分）

1. 已知集合 ( A = { x \mid -2 < x \leq 3 } )，( B = { x \mid x \geq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ( { x \mid 0 \leq x \leq 3 } )
   B. ( { x \mid x > -2 } )
   C. ( { x \mid x \geq 0 } )
   D. ( { x \mid -2 < x < 0 } )

2. 命题“ ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是（ ）
   A. ( \forall x \notin \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 0 )
   B. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 0 )
   C. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 < 0 )
   D. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 1 \leq 0 )

3. 函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域为（ ）
   A. ( [2,3) \cup (3,+\infty) )
   B. ( (2,+\infty) )
   C. ( [2,+\infty) )
   D. ( (3,+\infty) )

4. 已知 ( a > b > 0 )，则下列不等式成立的是（ ）
   A. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} )
   B. ( a^2 < b^2 )
   C. ( \sqrt{a} > \sqrt{b} )
   D. ( |a| < |b| )

5. 若函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 3 ) 在 ( (-\infty, 2] ) 上单调递减，则 ( a ) 的取值范围是（ ）
   A. ( a \geq 2 )
   B. ( a \leq 2 )
   C. ( a \geq 4 )
   D. ( a \leq 4 )

6. 已知 ( f(x) ) 是奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则当 ( x < 0 ) 时，( f(x) = )（ ）
   A. ( -x^2 - 2x )
   B. ( -x^2 + 2x )
   C. ( x^2 + 2x )
   D. ( x^2 - 2x )

7. 设 ( a = 2^{0.3} )，( b = 0.3^2 )，( c = \log_{0.3} 2 )，则（ ）
   A. ( a > b > c )
   B. ( b > a > c )
   C. ( c > a > b )
   D. ( a > c > b )

8. 函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在区间为（ ）
   A. ( (0,1) )
   B. ( (1,2) )
   C. ( (2,3) )
   D. ( (3,4) )

填空题（每小题5分，共20分）
9. 已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = )__。

10. 计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{2}{3}} + \log_3 18 - \log_3 2 = )__。

11. 若 ( x > 0 )，则 ( x + \frac{4}{x+1} ) 的最小值为__。

12. 函数 ( y = \log_{\frac{1}{2}} (x^2 - 4x + 3) ) 的单调递增区间为__。

解答题（共40分）
13. （10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid 3 \leq x < 7 } )，( B = { x \mid 4 < x \leq 10 } )。
（1）求 ( A \cup B )、( \complement_U (A \cap B) )；
（2）若集合 ( C = { x \mid a \leq x \leq a+2 } )，且 ( C \subseteq A )，求实数 ( a ) 的取值范围。

14. （10分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x-1}{x+1} )。
    （1）判断 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明；
    （2）求函数 ( f(x) ) 在 ( [2,5] ) 上的值域。

15. （10分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) = b - \frac{2}{2^x + 1} ) 为奇函数。
    （1）求实数 ( b ) 的值；
    （2）解关于 ( x ) 的不等式 ( f(x) > \frac{1}{3} )。

16. （10分）某工厂生产一种产品的固定成本为 20000 元，每生产一件产品需增加投入 100 元，已知总收入 ( R(x) )（元）与月产量 ( x )（件）满足函数 ( R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000, & x > 400 \end{cases} )
    （1）将利润 ( y )（元）表示为月产量 ( x )（件）的函数；
    （2）当月产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？

2025年高一数学必修一综合测试卷参考答案

选择题

1. A
2. B
3. A
4. C
5. A
6. B
7. A
8. B

填空题
9. ( 1 )
10. ( 10 )
11. ( 3 )
12. ( (-\infty, 1) )

解答题
13.
（1）( A \cup B = { x \mid 3 \leq x \leq 10 } )，
( A \cap B = { x \mid 4 < x < 7 } )，
( \complement_U (A \cap B) = { x \mid x \leq 4 \ \text{或} \ x \geq 7 } )。
（2）由 ( C \subseteq A ) 得 ( \begin{cases} a \geq 3 \ a+2 < 7 \end{cases} )，解得 ( 3 \leq a < 5 )。

14. （1）单调递增，证明略（作差变形可得）。
    （2）值域为 ( \left[ 1, \frac{3}{2} \right] )。

15. （1）由 ( f(0)=0 ) 得 ( b=1 )。
    （2）( f(x) = 1 - \frac{2}{2^x+1} > \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{2}{2^x+1} < \frac{2}{3} \Rightarrow 2^x > 2 \Rightarrow x > 1 )。

16. （1）( y = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 300x - 20000, & 0 \leq x \leq 400 \ 60000 - 100x, & x > 400 \end{cases} )
    （2）当 ( 0 \leq x \leq 400 ) 时，( y_{\text{max}} = 25000 )（元，( x=300 )）；
    当 ( x > 400 ) 时，( y < 20000 )。
    故当月产量为 300 件时，利润最大，为 25000 元。