（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
A. ( { x \mid 0 \leq x < 3 } )
B. ( { x \mid -2 < x \leq 4 } )
C. ( { x \mid 0 < x < 3 } )
D. ( { x \mid -2 < x \leq 0 } )命题“( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 )”的否定是（ ）
A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 )
B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 )
C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 )
D. ( \forall x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 )函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域为（ ）
A. ( [2,3) \cup (3,+\infty) )
B. ( (2,3) \cup (3,+\infty) )
C. ( [2,+\infty) )
D. ( (2,+\infty) )已知 ( a, b \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. ( a^2 > b^2 )
B. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} )
C. ( 2^a > 2^b )
D. ( \lg(a-b) > 0 )已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3若 ( x > 0, y > 0 )，且 ( x + 2y = 4 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} ) 的最小值为（ ）
A. 2
B. ( \frac{9}{4} )
C. ( \frac{5}{2} )
D. 3已知函数 ( f(x) = ax^2 + bx + 1 ) 是定义在 ( [-2, 2] ) 上的偶函数，则（ ）
A. ( a = 0, b = 0 )
B. ( a = 0, b \neq 0 )
C. ( a \neq 0, b = 0 )
D. ( a \neq 0, b \neq 0 )设函数 ( f(x) = |x-1| - |x+2| )，则不等式 ( f(x) \leq 1 ) 的解集为（ ）
A. ( [-2, +\infty) )
B. ( (-\infty, -1] )
C. ( [-1, +\infty) )
D. ( (-\infty, -2] )
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列函数中,在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ）
A. ( y = |x| )
B. ( y = x^2 - 2x )
C. ( y = \sqrt{x} )
D. ( y = \frac{1}{x} )已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + c > 0 ) 的解集为 ( { x \mid -2 < x < 3 } )，则（ ）
A. ( a < 0 )
B. ( a + b + c > 0 )
C. 不等式 ( cx^2 + bx + a < 0 ) 的解集为 ( \left( -\infty, -\frac{1}{2} \right) \cup \left( \frac{1}{3}, +\infty \right) )
D. ( b + c = -a )已知函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )，且 ( f(x+y) = f(x) + f(y) ) 对任意实数 ( x, y ) 都成立，( f(1) = 2 )，则（ ）
A. ( f(0) = 0 )
B. ( f(x) ) 是奇函数
C. ( f(3) = 6 )
D. 若 ( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上单调递增，则 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 3 ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上单调递增，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
若 ( \alpha, \beta ) 是方程 ( x^2 - 3x + 1 = 0 ) 的两个实数根，则 ( \alpha^2 + \beta^2 = )__。
某公司购买一批机器,每台机器购买价格为20万元，每年需要维护费用2万元，已知这批机器使用 ( x ) 年后的总花费（购买费与维护费之和）平均每年为 ( y ) 万元，则 ( y ) 与 ( x ) 的函数关系式为 ( y = )__；当 ( x = )__时，平均每年花费最少。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）
已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid 3x - 2 > x + 4 } )，( B = { x \mid x^2 - 5x + 6 \leq 0 } )。
（1）求 ( A \cap B )；
（2）求 ( (\complement_U A) \cup B )。（15分）
已知函数 ( f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} )。
（1）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性，并说明理由；
（2）用定义证明：函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上单调递减；
（3）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 3] ) 上的值域。（15分）
已知二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) 的图像经过点 ( (1, 0) )，且不等式 ( f(x) \leq 2x ) 对一切实数 ( x ) 都成立。
（1）求函数 ( f(x) ) 的解析式；
（2）若关于 ( x ) 的不等式 ( f(x) > mx - 3 ) 在区间 ( [1, 3] ) 上恒成立，求实数 ( m ) 的取值范围。（17分）
近年来，新能源汽车发展迅速，某品牌新能源汽车的充电时间 ( t )（单位：小时）与充电量 ( Q )（单位：千瓦时）之间的关系为 ( t = 0.2Q + 0.02Q^2 )。
（1）求充电量为50千瓦时所需的充电时间；
（2）若充电时间不超过3小时，求充电量 ( Q ) 的取值范围；
（3）已知该汽车电池容量为60千瓦时，实际充电过程中，充电效率为90%，若计划充电时间不超过2.5小时，求实际充电量能达到的最大值。（17分）
对于函数 ( f(x) )，若存在实数 ( x_0 )，使得 ( f(x_0) = x_0 )，则称 ( x_0 ) 为函数 ( f(x) ) 的一个“不动点”。
已知函数 ( f(x) = x^2 + ax + b )。
（1）当 ( a = 2, b = -3 ) 时，求函数 ( f(x) ) 的不动点；
（2）若函数 ( f(x) ) 有两个不动点 ( x_1, x_2 )，且满足 ( x_1 < 1 < x_2 )，求 ( a + b ) 的取值范围；
（3）设函数 ( g(x) = f(f(x)) )，若函数 ( g(x) ) 有且仅有三个不动点，求实数 ( a ) 的取值范围。
参考答案见下页
2025年高中数学新教材必修一综合测试卷（参考答案）
选择题
A
解析：( B = { x \mid x(x-4) \leq 0 } = [0, 4] )，( A \cap B = [0, 3) )。B
解析：全称命题的否定是特称命题，并否定结论。A
解析：由 ( x-2 \geq 0 ) 且 ( x-3 \neq 0 ) 得 ( x \geq 2 ) 且 ( x \neq 3 )。C
解析：由指数函数 ( y = 2^x ) 单调递增可得。C
解析：( f(0) = 0^2 + 1 = 1 )，( f(f(0)) = f(1) = 1^2 + 1 = 2 )。B
解析：( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = \frac{1}{4}(x+2y)\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{y}\right) = \frac{1}{4}\left(5 + \frac{2y}{x} + \frac{2x}{y}\right) \geq \frac{1}{4}(5 + 2 \times 2) = \frac{9}{4} )，当且仅当 ( \frac{2y}{x} = \frac{2x}{y} ) 即 ( x = y = \frac{4}{3} ) 时取等。C
解析：偶函数要求奇次项系数为零，故 ( b = 0 )，( a ) 可为任意实数，但二次函数若 ( a = 0 ) 则退化为一次函数，( b = 0 ) 则为常函数，也是偶函数，但选项中常函数情况未单独列出，结合选项结构，选 ( a \neq 0, b = 0 )。C
解析：分类讨论：
当 ( x \leq -2 ) 时，( f(x) = -(x-1) + (x+2) = 3 \leq 1 ) 不成立；
当 ( -2 < x < 1 ) 时，( f(x) = -(x-1) - (x+2) = -2x -1 \leq 1 \Rightarrow x \geq -1 )，即 ( -1 \leq x < 1 )；
当 ( x \geq 1 ) 时，( f(x) = (x-1) - (x+2) = -3 \leq 1 ) 恒成立。
综上，解集为 ( [-1, +\infty) )。
多选题
AC
解析：A在 ( (0, +\infty) ) 即为 ( y = x )，单调递增；B对称轴 ( x=1 )，在 ( (0,1) ) 递减，在 ( (1,+\infty) ) 递增；C在定义域内单调递增；D在 ( (0,+\infty) ) 单调递减。ABD
解析：由解集形式知 ( a < 0 ) 且方程 ( ax^2+bx+c=0 ) 两根为 ( -2, 3 )，故 ( -\frac{b}{a} = 1 )，( \frac{c}{a} = -6 )，即 ( b = -a )，( c = -6a )。
A显然正确；
B: ( a+b+c = a - a - 6a = -6a > 0 )（因为 ( a < 0 )），正确；
C: ( cx^2+bx+a < 0 \Rightarrow -6a x^2 - a x + a < 0 )，因 ( a < 0 )，两边除以 ( a ) 变号得 ( -6x^2 - x + 1 > 0 )，即 ( 6x^2 + x - 1 < 0 )，解集为 ( \left( -\frac{1}{2}, \frac{1}{3} \right) )，故C错误；
D: ( b+c = -a - 6a = -7a )，而 ( -a = b )，但 ( b+c = -7a \neq -a ) 除非 ( a=0 )，但 ( a<0 )，故D错误？
重新计算：由韦达定理，( \frac{b}{a} = -(-2+3) = -1 \Rightarrow b = -a )，( \frac{c}{a} = (-2) \times 3 = -6 \Rightarrow c = -6a )，则 ( b+c = -a - 6a = -7a )，而 ( -a = b )，( b+c = -7a \neq -a )（除非 ( a=0 )），故D错误。 可能期望判断D，此处D应为错误。
然而B：( a+b+c = a - a - 6a = -6a )，因 ( a<0 )，故 ( -6a > 0 )，正确。
综上，正确答案为A、B。更正：对选项D，( b+c = -a - 6a = -7a )，而 ( -a = b )，( b+c \neq -a )（除非 ( a=0 )），故D错误。
因此正确答案为A、B。ABCD
解析：
A: 令 ( x=y=0 ) 得 ( f(0)=2f(0) \Rightarrow f(0)=0 )；
B: 令 ( y=-x ) 得 ( f(0)=f(x)+f(-x) \Rightarrow f(-x)=-f(x) )，为奇函数；
C: ( f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=2+f(1+1)=2+2f(1)=2+4=6 )；
D: 奇函数在对称区间上单调性相同，故正确。
填空题
( (-\infty, 1] )
解析：对称轴 ( x = a )，需 ( a \leq 1 )。7
解析：由韦达定理 ( \alpha+\beta=3 )，( \alpha\beta=1 )，则 ( \alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 9 - 2 = 7 )。( y = \frac{20}{x} + 2 )，( x = \sqrt{10} )（或约3.16）
解析：总花费为 ( 20 + 2x )，平均每年花费 ( y = \frac{20 + 2x}{x} = \frac{20}{x} + 2 )，由均值不等式 ( \frac{20}{x} + 2 \geq 2\sqrt{\frac{20}{x} \cdot 2} = 4\sqrt{10} ) ？
更正：( y = \frac{20}{x} + 2 \geq 2\sqrt{\frac{20}{x} \cdot 2} ) 错误，因为常数2不能直接用于均值不等式。
正确做法：( y = \frac{20}{x} + 2 )，当 ( \frac{20}{x} = 2 ) 即 ( x = 10 ) 时取等？不对，因为 ( \frac{20}{x} ) 单调减，2是常数，不能直接使用均值不等式求最小值。
函数 ( y = \frac{20}{x} + 2 ) 在 ( x>0 ) 单调递减？求导：( y' = -\frac{20}{x^2} < 0 )，所以单调递减，最小值在 ( x \to +\infty ) 时趋近于2，但 ( x ) 为使用年数，应取正整数。 可能期望用均值不等式求 ( \frac{20}{