2025年高中数学全套课本知识综合测试卷

1. 本试卷共22题，满分150分，考试时间120分钟。
2. 答题前请确认已具备高中数学全套课本（电子版或纸质版）相关知识体系。
3. 可使用规范计算器，不得使用手机、电脑等联网设备。

选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

1. 若集合 ( A = { x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{x+2} \leq 2 } )，( B = { x \mid |x-1| < 3 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ( [-2, 4) )
   B. ( (-2, 2] )
   C. ( [0, 4) )
   D. ( [0, 2] )

2. 已知复数 ( z ) 满足 ( z(1+i) = 2-3i )（( i ) 为虚数单位），则 ( \overline{z} = )（ ）
   A. ( -\frac{1}{2} - \frac{5}{2}i )
   B. ( -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i )
   C. ( \frac{5}{2} - \frac{1}{2}i )
   D. ( \frac{5}{2} + \frac{1}{2}i )

3. 在等差数列 ({ a_n }) 中，( a_3 + a9 = 12 )，则 ( S{11} = )（ ）
   A. 66
   B. 72
   C. 132
   D. 144

4. 函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在区间为（ ）
   A. ( (0, 1) )
   B. ( (1, 2) )
   C. ( (2, 3) )
   D. ( (3, 4) )

5. 已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 ) 的离心率为 ( \sqrt{3} )，且过点 ( (2, \sqrt{2}) )，则其渐近线方程为（ ）
   A. ( y = \pm \sqrt{2}x )
   B. ( y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x )
   C. ( y = \pm 2x )
   D. ( y = \pm \frac{1}{2}x )

6. 将函数 ( f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x ) 的图象向左平移 ( \varphi (\varphi > 0) ) 个单位后关于 ( y ) 轴对称，则 ( \varphi ) 的最小值为（ ）
   A. ( \frac{\pi}{12} )
   B. ( \frac{\pi}{6} )
   C. ( \frac{5\pi}{12} )
   D. ( \frac{\pi}{3} )

7. 已知 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_3 5 )，( c = \frac{3}{2} )，则（ ）
   A. ( a < b < c )
   B. ( b < a < c )
   C. ( c < a < b )
   D. ( b < c < a )

8. 在三棱锥 ( P-ABC ) 中，( PA \perp ) 平面 ( ABC )，( AB \perp BC )，( PA = AB = BC = 2 )，则其外接球表面积为（ ）
   A. ( 12\pi )
   B. ( 16\pi )
   C. ( 20\pi )
   D. ( 24\pi )

多选题（共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9. 已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，则（ ）
A. 若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则 ( m = 2 )
B. 若 ( \vec{a} \parallel \vec{b} )，则 ( m = -\frac{1}{2} )
C. 若 ( |\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}| )，则 ( m = 0 )
D. 若 ( \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle ) 为锐角，则 ( m > -\frac{1}{2} ) 且 ( m \neq 2 )

10. 下列说法正确的是（ ）
    A. 线性回归方程 ( \hat{y} = \hat{b}x + \hat{a} ) 必过样本中心点 ( (\bar{x}, \bar{y}) )
    B. 已知随机变量 ( X \sim B(n, p) )，若 ( E(X) = 6 )，( D(X) = 3 )，则 ( p = \frac{1}{2} )
    C. 若 ( P(A) > 0 )，( P(B) > 0 )，则 ( P(A|B) = P(B|A) ) 是 ( P(A) = P(B) ) 的充要条件
    D. 若 ( \xi \sim N(1, \sigma^2) )，且 ( P(\xi < 2) = 0.8 )，则 ( P(0 < \xi < 1) = 0.3 )

11. 已知函数 ( f(x) = |\sin x| + \cos x )，则（ ）
    A. ( f(x) ) 是周期函数
    B. ( f(x) ) 在 ( \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) ) 上单调递减
    C. ( f(x) ) 的最大值为 ( \sqrt{2} )
    D. ( f(x) ) 的图象关于直线 ( x = \pi ) 对称

12. 已知抛物线 ( C: y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )，过点 ( F ) 的直线 ( l ) 交 ( C ) 于 ( A, B ) 两点，则（ ）
    A. ( |AB| ) 的最小值为 4
    B. 以 ( AB ) 为直径的圆与 ( C ) 的准线相切
    C. 若 ( \overrightarrow{AF} = 2\overrightarrow{FB} )，则直线 ( l ) 的斜率为 ( \pm 2\sqrt{2} )
    D. 若 ( M(4, 0) )，则 ( \angle AMB ) 的最大值为 ( \frac{\pi}{2} )

填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知 ( (2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^n ) 的展开式中常数项为 60，则 ( n = )__．

14. 已知数列 ({ a_n }) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = \frac{2a_n}{an + 2} )，则 ( a{2025} = )__．

15. 已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7 = 0 )，过点 ( P(1, 0) ) 作圆 ( C ) 的两条切线，切点分别为 ( A, B )，则直线 ( AB ) 的方程为__．

16. 若对任意 ( x \in (0, +\infty) )，不等式 ( e^{2x} - (a+1)e^x + ax \geq 0 ) 恒成立，则实数 ( a ) 的最大值为__．

解答题（共6小题，共70分）
17. （10分）
在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\cos C}{c} )。
（1）求角 ( C ) 的大小；
（2）若 ( c = 2\sqrt{3} )，( \triangle ABC ) 的面积为 ( 2\sqrt{3} )，求 ( a + b ) 的值。

18. （12分）
    如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AD = 2 )，( AB = 1 )，点 ( E ) 为线段 ( PD ) 的中点。
    （1）求证：( PB \parallel ) 平面 ( AEC )；
    （2）求二面角 ( B-AE-C ) 的正弦值。

19. （12分）
    已知数列 ({ a_n }) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2a_n - 2 )。
    （1）求 ({ a_n }) 的通项公式；
    （2）设 ( b_n = \frac{a_n}{(an+1)(a{n+1}+1)} )，求数列 ({ b_n }) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。

20. （12分）
    某校举行数学竞赛，初赛共 20 道题，每题必答，答对一题得 5 分，答错或不答扣 2 分，已知小明答对每题的概率均为 ( \frac{3}{4} )，且各题作答相互独立。
    （1）求小明初赛得分 ( X ) 的分布列和数学期望；
    （2）若初赛得分不低于 80 分可进入决赛，求小明进入决赛的概率（结果保留三位小数）。
    （参考数据：( 0.75^{10} \approx 0.056 )，( 0.75^{15} \approx 0.013 )）

21. （12分）
    已知椭圆 ( E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( \left( 1, \frac{3}{2} \right) )。
    （1）求椭圆 ( E ) 的方程；
    （2）设过点 ( P(2, 1) ) 的直线 ( l ) 交 ( E ) 于 ( A, B ) 两点，过点 ( A ) 作直线 ( x = 4 ) 的垂线，垂足为 ( C )，求证：直线 ( BC ) 过定点。

22. （12分）
    已知函数 ( f(x) = e^x - ax^2 - x )。
    （1）若 ( a = 1 )，讨论 ( f(x) ) 的单调性；
    （2）若 ( f(x) ) 有两个极值点 ( x_1, x_2 )，且 ( x_1 < x_2 )，证明：( f(x_1) + f(x_2) > 2 )。

参考答案见下页

2025年高中数学全套课本知识综合测试卷（带答案）

选择题

1. B
2. A
3. A
4. B
5. A
6. C
7. D
8. A

多选题
9. ABD
10. ABD
11. AC
12. ABC

填空题
13. 6
14. ( \frac{2}{2025} )
15. ( x + y - 3 = 0 )
16. 2

解答题
17. （1）( C = \frac{\pi}{3} )；（2）( a + b = 4\sqrt{2} )
18. （1）略；（2）( \frac{\sqrt{6}}{3} )
19. （1）( a_n = 2^n )；（2）( T_n = \frac{2^n - 1}{2^{n+1} + 1} )
20. （1）( E(X) = 65 )；（2）约 0.056
21. （1）( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )；（2）定点为 ( (1, 0) )
22. （1）在 ( (-\infty, 0) ) 增，( (0, \ln 2) ) 减，( (\ln 2, +\infty) ) 增；（2）略

说明：
本试卷紧扣高中数学全套课本（电子版/纸质版）核心知识点，涵盖代数、几何、概率统计、函数与导数等主干内容，旨在检验学生对基础知识的掌握程度与综合运用能力，建议结合课本系统复习,并对错题进行归类整理。