2025年初中数学学业水平测试卷

（满分：120分，考试时间：90分钟）

选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ）
   A. -3
   B. 0
   C. 1
   D. 2

2. 若 ( a > b )，则下列不等式成立的是（ ）
   A. ( a - 2 < b - 2 )
   B. ( -2a > -2b )
   C. ( \frac{a}{3} > \frac{b}{3} )
   D. ( a + 1 < b + 1 )

3. 一元二次方程 ( x^2 - 4x + 4 = 0 ) 的根的情况是（ ）
   A. 有两个不相等的实数根
   B. 有两个相等的实数根
   C. 没有实数根
   D. 无法确定

4. 在平面直角坐标系中，点 ( P(-3, 2) ) ( y ) 轴对称的点的坐标是（ ）
   A. ( (3, 2) )
   B. ( (-3, -2) )
   C. ( (3, -2) )
   D. ( (-3, 2) )

5. 若一个多边形的内角和是 ( 1080^\circ )，则这个多边形是（ ）
   A. 六边形
   B. 七边形
   C. 八边形
   D. 九边形

6. 如图，在 ( \triangle ABC ) 中，( DE \parallel BC )，( AD = 2 )，( DB = 3 )，( DE = 4 )，则 ( BC = )（ ）
   A. 6
   B. 8
   C. 10
   D. 12

7. 一次函数 ( y = kx + b ) 的图象经过第一、二、四象限，则 ( k ) 和 ( b ) 的符号是（ ）
   A. ( k > 0, b > 0 )
   B. ( k < 0, b > 0 )
   C. ( k > 0, b < 0 )
   D. ( k < 0, b < 0 )

8. 已知圆锥的底面半径为 ( 3 \, \text{cm} )，母线长为 ( 5 \, \text{cm} )，则圆锥的侧面积是（ ）
   A. ( 15\pi \, \text{cm}^2 )
   B. ( 20\pi \, \text{cm}^2 )
   C. ( 24\pi \, \text{cm}^2 )
   D. ( 30\pi \, \text{cm}^2 )

9. 从分别标有数字 1, 2, 3, 4 的四张卡片中随机抽取两张，则两张卡片上的数字之和为奇数的概率是（ ）
   A. ( \frac{1}{3} )
   B. ( \frac{1}{2} )
   C. ( \frac{2}{3} )
   D. ( \frac{3}{4} )

10. 观察下列图形规律，第 ( n ) 个图形中三角形的个数是（ ）
    （图形略，规律：第1个有3个三角形，第2个有6个，第3个有9个，…）
    A. ( 2n )
    B. ( 3n )
    C. ( n + 2 )
    D. ( 2n + 1 )

填空题（每小题3分，共18分）

11. 计算：( \sqrt{16} - (-2)^2 = )__。

12. 分解因式：( 2x^2 - 8 = )__。

13. 若 ( x = 1 ) 是方程 ( x^2 + mx - 3 = 0 ) 的一个根，则 ( m = )__。

14. 在 ( \triangle ABC ) 中，( \angle C = 90^\circ )，( \sin A = \frac{3}{5} )，则 ( \cos B = )__。

15. 如图，( \odot O ) 的直径 ( AB = 10 )，弦 ( CD = 8 )，( CD \perp AB ) 于点 ( E )，则 ( AE = )__。

16. 定义一种新运算：( a \ast b = a^2 - ab )，则 ( (-2) \ast 3 = )__。

解答题（共72分）

17. （8分）计算：
    ( \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} - \sqrt{9} + | -5 | - (2025 - \pi)^0 )

18. （8分）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
    [ \begin{cases} 2x - 1 > x + 1 \ x + 8 \leq 4x - 1 \end{cases} ]

19. （8分）先化简，再求值：
    ( \left( \frac{x}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} \right) \div \frac{x+2}{x+1} )，( x = 3 )。

20. （10分）如图，在平行四边形 ( ABCD ) 中，点 ( E )、( F ) 分别在边 ( BC )、( AD ) 上，且 ( BE = DF )，连接 ( AE )、( CF )。
    （1）求证：( \triangle ABE \cong \triangle CDF )；
    （2）若 ( AE \perp BC )，求证：四边形 ( AECF ) 是矩形。

21. （12分）某校为了解学生每周课外阅读时间，随机调查了部分学生，并绘制成如下统计图表（略，含频数分布直方图和扇形统计图）。
    根据图表信息，解答下列问题：
    （1）本次调查的学生人数为__，扇形统计图中“3~4小时”对应的圆心角度数为__；
    （2）补全频数分布直方图；
    （3）若该校共有学生 2000 人，请估计每周课外阅读时间不少于 4 小时的学生人数。

22. （12分）某商店购进一批商品，每件进价为 20 元，售价为 30 元时，每天可售出 200 件，经调查发现，售价每降低 1 元，每天可多售出 20 件。
    （1）若降价 ( x ) 元，每天销售利润为 ( y ) 元，写出 ( y ) 与 ( x ) 的函数关系式；
    （2）当每件售价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？

23. （14分）如图，抛物线 ( y = ax^2 + bx + 3 ) 经过点 ( A(-1, 0) )、( B(3, 0) )，与 ( y ) 轴交于点 ( C )。
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）点 ( D ) 为抛物线对称轴上一点，当 ( \triangle BCD ) 的周长最小时，求点 ( D ) 的坐标；
    （3）在（2）的条件下，点 ( P ) 是抛物线第一象限内一点，且 ( S{\triangle PBC} = 2S{\triangle BCD} )，求点 ( P ) 的坐标。

2025年初中数学学业水平测试卷（带答案）

（满分：120分，考试时间：90分钟）

选择题（每小题3分，共30分）

1. B
2. C
3. B
4. A
5. C
6. C
7. B
8. A
9. C
10. B

填空题（每小题3分，共18分）

11. 0
12. ( 2(x+2)(x-2) )
13. 2
14. ( \frac{3}{5} )
15. 2
16. 10

解答题（共72分）

17. 解：原式 ( = 4 - 3 + 5 - 1 = 5 )
    答：5

18. 解：解第一个不等式得 ( x > 2 )；
    解第二个不等式得 ( x \geq 3 )；
    所以不等式组的解集为 ( x \geq 3 )。
    数轴表示略。

19. 解：原式 ( = \left( \frac{x}{x-2} - \frac{4}{(x-2)(x+2)} \right) \cdot \frac{x+1}{x+2} )
    ( = \frac{x(x+2)-4}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+1}{x+2} )
    ( = \frac{x^2+2x-4}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x+1}{x+2} )
    当 ( x = 3 ) 时，原式 ( = \frac{9+6-4}{(1)(5)} \cdot \frac{4}{5} = \frac{11}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{44}{25} )。

20. 证明：
    （1）∵ 四边形 ( ABCD ) 是平行四边形，
    ∴ ( AB = CD )，( \angle B = \angle D )，( AD = BC )。
    又 ( BE = DF )，∴ ( BC - BE = AD - DF )，即 ( CE = AF )。
    在 ( \triangle ABE ) 和 ( \triangle CDF ) 中，
    ( AB = CD )，( \angle B = \angle D )，( BE = DF )，
    ∴ ( \triangle ABE \cong \triangle CDF )（SAS）。
    （2）由（1）得 ( AE = CF )，( \triangle ABE \cong \triangle CDF )，
    ∴ ( \angle AEB = \angle CFD )，∴ ( AE \parallel CF )，
    又 ( CE = AF )，∴ 四边形 ( AECF ) 是平行四边形。
    ∵ ( AE \perp BC )，∴ ( \angle AEC = 90^\circ )，
    ∴ 四边形 ( AECF ) 是矩形。

21. 解：（1）100，108°（示例数据，实际需根据图表填写）
    （2）略（根据图表补全）
    （3）估计人数为 ( 2000 \times (30\% + 10\%) = 800 ) 人（示例比例）。

22. 解：（1）售价为 ( (30-x) ) 元，销量为 ( (200+20x) ) 件，
    ( y = (30-x-20)(200+20x) = (10-x)(200+20x) = -20x^2 + 2000 )。
    （2）( y = -20x^2 + 2000 = -20(x^2 - 100) )，
    当 ( x = 0 ) 时，( y_{\text{最大}} = 2000 ) 元，即售价定为 30 元时，最大利润为 2000 元。

23. 解：（1）将 ( A(-1,0) )、( B(3,0) ) 代入 ( y = ax^2 + bx + 3 ) 得：
    ( a - b + 3 = 0 )，( 9a + 3b + 3 = 0 )，
    解得 ( a = -1 )，( b = 2 )，
    ∴ 抛物线解析式为 ( y = -x^2 + 2x + 3 )。
    （2）对称轴为 ( x = 1 )，点 ( C(0,3) )，
    作点 ( C ) 关于对称轴的对称点 ( C'(2,3) )，连接 ( BC' ) 交对称轴于点 ( D )，
    直线 ( BC' ) 解析式为 ( y = -3x + 9 )，
    当 ( x = 1 ) 时，( y = 6 )，∴ ( D(1,6) )。
    （3）( S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2} \times BD \times \text{高} )（略计算），
    设 ( P(m, -m^2+2m+3) )，过 ( P ) 作 ( PH \parallel y ) 轴交 ( BC ) 于 ( H )，
    由面积关系列方程解得 ( m = 2 ) 或 ( m = 1 )（舍去），
    ∴ ( P(2,3) )。