选择题（每题4分，共32分）
下列计算正确的是（ ） A. ((-2a^2)^3 = -6a^6) B. (a^8 \div a^4 = a^2) (a ≠ 0) C. (\sqrt{9} = \pm3) D. ((a-b)^2 = a^2 - b^2)
在平面直角坐标系中,点P(-3, 4)关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. (3, 4) B. (-3, -4) C. (3, -4) D. (-3, 4)
一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
若关于x的一元二次方程(x^2 - 2x + m = 0)有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m > 1 B. m < 1 C. m ≥ 1 D. m ≤ 1
在“数学学习网”的某次在线测试中，某小组5名同学的成绩（单位：分）分别为：85，90，88，85，92，下列说法错误的是（ ） A. 平均数是88 B. 众数是85 C. 中位数是88 D. 方差是6
如图,在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
已知一次函数(y = kx + b)的图象经过第一、二、四象限，则下列结论正确的是（ ） A. k > 0, b > 0 B. k > 0, b < 0 C. k < 0, b > 0 D. k < 0, b < 0
如图,AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABC=25°，则∠BDC的度数为（ ） A. 55° B. 65° C. 75° D. 115°
填空题（每题4分，共20分）
分解因式：(2x^2 - 8 =)__。
2025年,某“数学学习网”的注册用户数达到5060000人，将5060000用科学记数法表示为__。
一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球,这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是____。
已知(a^2 - 3a + 1 = 0)，则代数式(a + \frac{1}{a})的值为____。
如图,在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点B‘处，当△CEB’为直角三角形时，BE的长为____。
解答题（共48分）
（8分）计算：((-1)^{2025} + \sqrt{12} - 2\sin60^\circ - |1-\sqrt{3}|)
（8分）先化简，再求值：(\frac{x^2 - 1}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x + 1} + \frac{2}{x - 1})，x = \sqrt{2} + 1)。
（10分）为了解同学们对“数学学习网”线上课程的使用效果，某校随机抽取了部分初中学生进行问卷调查（每人只能选一项），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）这次调查共抽取了__名学生。 （2）请将条形统计图补充完整。 （3）若该校共有初中生2000人，请估计认为“效果很好”的学生人数。 （注：图中选项：A.效果很好；B.效果较好；C.效果一般；D.效果较差）
（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E。 （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，BC=12，求线段DE的长。
（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(y = x^2 + bx + c)经过点A(-1, 0)和点B(3, 0)。 （1）求该抛物线的解析式及其顶点坐标。 （2）设该抛物线与y轴交于点C，点D是抛物线上位于直线BC上方的一个动点（不与B，C重合），过点D作y轴的平行线交直线BC于点E。 ① 求线段DE长度的最大值； ② 当DE长度最大时，求△CDE的面积。
2025年初中数学学习网综合能力测试卷 参考答案
选择题
- B（解析：A应为(-8a^6)；C算术平方根为3；D应为(a^2 - 2ab + b^2)）
- B
- D（解析：内角和360°×2=720°，根据公式(n-2)×180°=720°，解得n=6）
- B（解析：Δ=4-4m>0，解得m<1）
- D（解析：平均数88，众数85，中位数88，方差计算得7.6，不是6）
- A（解析：菱形对角线互相垂直平分，边长=(\sqrt{(8/2)^2 + (6/2)^2} = \sqrt{16+9}=5)）
- C
- B（解析：连接AD，∠ADB=90°，∠ADC=∠ABC=25°，∴∠BDC=90°-25°=65°）
填空题9. (2(x+2)(x-2)) 10. (5.06 \times 10^6) 11. (\frac{3}{5}) 或 0.6 12.3（解析：由已知a≠0，等式两边同除以a得(a + \frac{1}{a} = 3)） 13. (\frac{3}{2})或 3（解析：分两种情况：①当∠EB‘C=90°时，B’落在CD上，可求BE=3；②当∠B‘EC=90°时，B’落在AD延长线上，可求BE=(\frac{3}{2})）
解答题14.解：原式 = (-1 + 2\sqrt{3} - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - 1)) = (-1 + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1) = (0)
解：原式 = (\frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2} \cdot \frac{x-1}{x+1} + \frac{2}{x-1}) = (1 + \frac{2}{x-1}) = (\frac{x+1}{x-1}) 当(x = \sqrt{2} + 1)时， 原式 = (\frac{\sqrt{2}+1+1}{\sqrt{2}+1-1} = \frac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2})
解： （1）200（解析：40÷20%=200） （2）C选项人数为：200×25%=50（人），图略。 （3）2000 × (80/200) = 800（人） 答：估计认为“效果很好”的学生约有800人。
解： （1）证明：连接OD。 ∵ OB=OD，∴ ∠B=∠ODB。 ∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C。 ∴ ∠ODB=∠C。∴ OD∥AC。 ∵ DE⊥AC，∴ DE⊥OD。 ∴ DE是⊙O的切线。 （2）连接AD。 ∵ AB是直径，∴ ∠ADB=90°。 ∵ AB=AC，BC=12，∴ BD=DC=6。 在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，∴ AD=8。 ∵ S△ADC = (\frac{1}{2} AC \cdot DE = \frac{1}{2} DC \cdot AD)， ∴ (\frac{1}{2} \times 10 \times DE = \frac{1}{2} \times 6 \times 8)， 解得 DE = 4.8。
解： （1）将A(-1,0)，B(3,0)代入(y = x^2 + bx + c)得： (\begin{cases} 1 - b + c = 0 \ 9 + 3b + c = 0 \end{cases}) 解得：(b = -2, c = -3) 抛物线解析式为：(y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4) 顶点坐标为(1, -4)。
（2）①令x=0，则y=-3，∴ C(0, -3)。 设直线BC解析式为y=kx-3，代入B(3,0)得k=1，∴ 直线BC：y=x-3。 设D(m, m^2 - 2m - 3) (0 < m < 3)，则E(m, m-3)。 ∴ DE = (m^2 - 2m - 3) - (m - 3) = m^2 - 3m = (m - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) ∵ a=1>0，0 < m < 3， ∴ 当m=(\frac{3}{2})时，DE取得最大值，最大值为(-\frac{9}{4})（即(\frac{9}{4})，长度取正值）。
②当m=\(\frac{3}{2}\)时，D(\(\frac{3}{2}\), \(-\frac{15}{4}\))，E(\(\frac{3}{2}\), \(-\frac{3}{2}\))，DE=\(\frac{9}{4}\)。
过点C作CF∥x轴交DE延长线于点F，则F(\(\frac{9}{4}\), -3)。
S△CDE = S△CDF - S△CEF = \(\frac{1}{2} \times \frac{9}{4} \times (-\frac{3}{2} + 3) - \frac{1}{2} \times \frac{9}{4} \times (-\frac{15}{4} + 3)\)
= \(\frac{1}{2} \times \frac{9}{4} \times \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{9}{4} \times (-\frac{3}{4})\)
= \(\frac{27}{16} + \frac{27}{32} = \frac{54}{32} + \frac{27}{32} = \frac{81}{32}\)。