（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
- 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。
- 作答时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
- 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
实数-2025的相反数是（ ） A. 2025 B. -2025 C. (\frac{1}{2025}) D. (-\frac{1}{2025})
下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 矩形
据国家统计局数据,2024年我国国内生产总值（GDP）超过126万亿元，将126万亿用科学记数法表示为（ ） A. (1.26 \times 10^{12}) B. (1.26 \times 10^{13}) C. (1.26 \times 10^{14}) D. (12.6 \times 10^{13})
下列计算正确的是（ ） A. (a^2 + a^3 = a^5) B. ((2a^2)^3 = 6a^6) C. (a^8 \div a^2 = a^4) ((a \neq 0)) D. ((a - b)^2 = a^2 - b^2)
如图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体,其俯视图是（ ） （此处应有几何体图示，描述：从上面看，中间一个小正方形，其周围四个方向各一个） A. 田字形 B. 十字形 C. 中间一个，周围四个 D. 三行三列
一组数据：3，5，5，7，8，8的中位数和众数分别是（ ） A. 6，5 B. 6，5和8 C. 5，5 D. 6.5，5和8
x)的一元二次方程(x^2 - 2x + m = 0)有两个不相等的实数根，则(m)的取值范围是（ ） A. (m > 1) B. (m < 1) C. (m \geq 1) D. (m \leq 1)
我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”若设鸡有(x)只，兔有(y)只，则根据题意，下列方程组正确的是（ ） A. (\begin{cases} x + y = 35 \ 2x + 4y = 94 \end{cases}) B. (\begin{cases} x + y = 35 \ 4x + 2y = 94 \end{cases}) C. (\begin{cases} x + y = 94 \ 2x + 4y = 35 \end{cases}) D. (\begin{cases} x + y = 94 \ 4x + 2y = 35 \end{cases})
如图,在(\triangle ABC)中，(AB = AC)，以点(B)为圆心，(BC)长为半径画弧，交(AC)于点(D)，连接(BD)，若(\angle A = 40^\circ)，则(\angle CBD)的度数为（ ） A. (30^\circ) B. (40^\circ) C. (50^\circ) D. (60^\circ)
如图,二次函数(y = ax^2 + bx + c (a \neq 0))的图象与(x)轴交于点(A(-1, 0))，(B(3, 0))，与(y)轴交于点(C(0, -3))，下列结论：①(abc > 0)；②(4a + 2b + c < 0)；③当(x > 1)时，(y)随(x)的增大而减小；④x)的方程(ax^2 + bx + c = -2)有两个不相等的实数根，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
- 分解因式：(2x^2 - 8 =)____。
- 若式子(\sqrt{x+3})在实数范围内有意义，则(x)的取值范围是____。
- 一个不透明的袋子中装有3个红球和2个白球,这些球除颜色外完全相同，从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是____。
- 若正多边形的一个外角是(60^\circ)，则这个正多边形的边数是____。
- 如图,在矩形(ABCD)中，(AB=4)，(BC=3)，以点(A)为圆心，(AD)长为半径画弧交(BC)于点(E)，连接(AE)，则图中阴影部分的面积为____。（结果保留(\pi)）
- 如图,在平面直角坐标系中，点(A)在反比例函数(y=\frac{k}{x}(x>0))的图象上，点(B)在(x)轴负半轴上，直线(AB)与(y)轴交于点(C)，若(AC=BC)，(\triangle AOB)的面积为6，则(k)的值为____。
解答题（本大题共9小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
（8分）计算：((-1)^{2025} + |\sqrt{3}-2| - (-\frac{1}{2})^{-2} + 2\sin60^\circ)。
（8分）先化简，再求值：((\frac{x}{x-1} - 1) \div \frac{x^2-1}{x^2-2x+1})，x = \sqrt{2}+1)。
（8分）如图，点(E)，(F)分别在菱形(ABCD)的边(BC)，(CD)上，且(BE = DF)。 求证：(\angle BAE = \angle DAF)。
（8分）为落实“双减”政策，某校利用课后服务时间开展了“书香校园”活动，学校为了解学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生，将结果分为A（0≤t<2小时）、B（2≤t<4小时）、C（4≤t<6小时）、D（t≥6小时）四个等级，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图。 （此处应有扇形统计图和条形统计图，描述：扇形图：A占10%，B占？，C占40%，D占20%；条形图：A人数5，B人数？，C人数20，D人数10） 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共调查了____名学生； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有学生2000人，请估计每周课外阅读时间不少于4小时的学生人数。
（8分）如图，在(\triangle ABC)中，(\angle C = 90^\circ)。 （1）请用尺规作图法，在边(AB)上求作一点(D)，使得点(D)到(AC)的距离等于(DB)。（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若(AC=6)，(BC=8)，求(AD)的长。
（10分）某超市计划购进甲、乙两种商品进行销售，经了解，甲种商品的进价比乙种商品的进价每件多10元，用1500元购进甲种商品的件数与用1200元购进乙种商品的件数相同。 （1）求甲、乙两种商品每件的进价。 （2）该超市决定购进甲、乙两种商品共100件，且本次购进甲种商品的数量不少于乙种商品数量的3倍，已知甲种商品的售价为每件80元，乙种商品的售价为每件60元，若本次购进的商品全部售出，则如何进货才能使超市获得最大利润？最大利润是多少？
（10分）如图，(AB)是(⊙O)的直径，点(C)是(⊙O)上一点，(\angle CAB)的平分线(AD)交(⊙O)于点(D)，过点(D)作(DE \perp AC)交(AC)的延长线于点(E)。 （1）求证：(DE)是(⊙O)的切线； （2）若(AB=10)，(\sin \angle CAB = \frac{3}{5})，求线段(CE)的长。
（12分）在(\triangle ABC)中，(\angle BAC = 90^\circ)，(AB = AC)，点(D)是直线(BC)上的一个动点（不与点(B)，(C)重合），以(AD)为边在(AD)的右侧作正方形(ADEF)，连接(CF)。 （1）【初步感知】如图1，当点(D)在线段(BC)上时，求证：(BD = CF)； （2）【深入探究】如图2，当点(D)在线段(BC)的延长线上时，延长(BA)交(CF)于点(G)，连接(GE)。 ①求证：(BG \perp CF)； ②若(AB = 4\sqrt{2})，(CD = 2)，求四边形(BDEG)的面积。 （3）【拓展延伸】当点(D)在线段(CB)的延长线上时，请直接写出线段(BD)，(BC)，(CF)之间的数量关系。
（14分）在平面直角坐标系中，抛物线(y = ax^2 + bx + 3 (a \neq 0))与(x)轴交于(A(-3, 0))，(B(1, 0))两点，与(y)轴交于点(C)。 （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点(P)是直线(BC)上方抛物线上一动点，过点(P)作(PD \parallel y)轴交(BC)于点(D)，求线段(PD)的最大值及此时点(P)的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线(CB)方向平移(\sqrt{2})个单位长度得到新抛物线(y')，新抛物线(y')与原抛物线交于点(M)，点(N)是原抛物线对称轴上一点，在平面内是否存在点(Q)，使得以点(A)，(M)，(N)，(Q)为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点(Q)的坐标；若不存在，请说明理由。
含答案版）：2025年初中毕业生学业水平考试数学模拟试卷（一）参考答案及评分标准**
选择题
A 2. D 3. C 4. B 5. C 6. B 7. B 8. A 9. A 10. C
填空题11. (2(x+2)(x-2)) 12. (x \geq -3) 13. (\frac{3}{5}) 14. (6) 15. (6 - \frac{9\pi}{4}) （或 (6 - 2.25\pi)） 16. (6)
解答题17. 解：原式 = (-1 + (2-\sqrt{3}) - 4 + 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) ...... (4分) = (-1 + 2 - \sqrt{3} - 4 + \sqrt{3}) = (-3) ...... (8分)
解：原式 = ((\frac{x}{x-1} - \frac{x-1}{x-1}) \div \frac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}) = (\frac{1}{x-1} \div \frac{x+1}{x-1}) ...... (3分) = (\frac{1}{x-1} \times \frac{x-1}{x+1}) = (\frac{1}{x+1}) ...... (6分) 当(x = \sqrt{2}+1)时，原式 = (\frac{1}{\sqrt{2}+1+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+2} = \frac{2-\sqrt{2}}{2}) ...... (8分)
证明：∵四边形(ABCD)是菱形， ∴ (AB = AD)，(\angle B = \angle D)。 ...... (3分) 在(\triangle ABE)和(\triangle ADF)中， (\begin{cases} AB = AD \ \angle B = \angle D \ BE = DF \end{cases}) ∴ (\triangle ABE \cong \triangle ADF (SAS))。 ...... (7分) ∴ (\angle BAE = \angle DAF)。 ...... (8分)
解：（1）50 ...... (2分) （2）B等级人数：(50 - 5 - 20 - 10 = 15)（人），补全条形图略。 ...... (4分) （3）(2000 \times \frac{20+10}{50} = 2000 \times 0.6 = 1200)（人）。 答：估计每周课外阅读时间不少于4小时的学生约有1200人。 ...... (8分)
解：（1）作图：作(\angle CAB)的角平分线交(AB)于点(D)，点(D)即为所求。（图略）...... (3分) （2）∵ (AC=6)，(BC=8)，(\angle C=90^\circ)， ∴ (AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = 10)。 ∵ (AD)平分(\angle CAB)，点(D)到(AC)的距离等于(DB)， ∴ (DB = DE)（设垂足为E），且(AD = AD)， ∴ (Rt\triangle AED \cong Rt\triangle ABD (HL))，但更直接的是利用角平分线性质：(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3})。 设(BD = 5k)，(DC = 3k)，则(BC = BD + DC = 8k = 8)，解得(k=1)。 ∴ (BD = 5)。 ∴ (AD = AB - BD = 10 - 5 = 5)。 ...... (8分) （注：本题解法不唯一）
解：（1）设乙种商品每件进价为(x)元，则甲种商品每件进价为((x+10))元。 根据题意得：(\frac{1500}{x+10} = \frac{1200}{x}) ...... (2分) 解得：(x = 40) 经检验，(x=40)是原方程的解，且符合题意。 ∴ (x+10 = 50)。 答：甲种商品每件进价为50元，乙种商品每件进价为40元。 ...... (4分) （2）设购进甲种商品(a)件，则购进乙种商品((100-a))件，总利润为(W)元。 根据题意得：(a \geq 3(100-a))，解得(a \geq 75)。 又∵ (a \leq 100)， ∴ (75 \leq a \leq 100)。 ...... (6分) (W = (80-50)a + (60-40)(100-a) = 30a + 20(100-a) = 10a + 2000)。 ...... (8分) ∵ (10 > 0)， ∴ (W)随(a)的增大而增大。 ∴ 当(a = 100)时，(W)取得最大值，最大值为(10 \times 100 + 2000 = 3000)（元）。 100-a = 0)。 答：购进甲种商品100件，乙种商品0件，才能使超市获得最大利润，最大利润是3000元。 ...... (10分)
（1）证明：连接(OD)。 ∵ (OA = OD)， ∴ (\angle OAD = \angle ODA)。 ∵ (AD)平分(\angle CAB)， ∴ (\angle CAD = \angle OAD)。 ∴ (\angle CAD = \angle ODA)。 ∴ (OD \parallel AE)。 ...... (3分) ∵ (DE \perp AE)， ∴ (DE \perp OD)。 又∵ (OD)是(⊙O)的半径， ∴ (DE)是(⊙O)的切线。 ...... (5分) （2）解：连接(BD)。 ∵ (AB)是直径， ∴ (\angle ADB = 90^\circ)。 在(Rt\triangle ABD)中，(AB=10)，(\sin \angle BAD = \sin \angle CAB = \frac{3}{5})，