（考试时间：120分钟 总分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
已知复数 ( z = \frac{1+i}{1-i} )，则 ( z ) 的共轭复数的虚部为（ ） A. ( 1 ) \quad B. ( -1 ) \quad C. ( i ) \quad D. ( -i )
命题“( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 )”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) \quad B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) \quad D. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} \leq 2 )
在等差数列 ({a_n}) 中，若 ( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( a_5 = )（ ） A. 5 \quad B. 6 \quad C. 8 \quad D. 10
已知双曲线 ( \frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 ) 的渐近线方程为（ ） A. ( y = \pm \frac{2}{3}x ) \quad B. ( y = \pm \frac{3}{2}x ) \quad C. ( y = \pm \frac{9}{4}x ) \quad D. ( y = \pm \frac{4}{9}x )
函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 1 ) 的单调递减区间是（ ） A. ( (-1, 1) ) \quad B. ( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) ) \quad C. ( (-\infty, -1) ) \quad D. ( (1, +\infty) )
已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) ), ( \vec{b} = (x, 4) )，且 ( \vec{a} \parallel \vec{b} )，则 ( x = )（ ） A. 2 \quad B. 4 \quad C. 6 \quad D. 8
设 ( a = \log_2 3 ), ( b = \log_4 6 ), ( c = \log_6 8 )，则（ ） A. ( a < b < c ) \quad B. ( b < a < c ) \quad C. ( c < b < a ) \quad D. ( b < c < a )
已知直线 ( l: x - y + 3 = 0 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 = 4 ) 相交于 ( A, B ) 两点，则弦长 ( |AB| = )（ ） A. ( \sqrt{2} ) \quad B. ( 2 ) \quad C. ( 2\sqrt{2} ) \quad D. ( 4 )
已知 ( \alpha \in (0, \pi) )，且 ( \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3} )，则 ( \tan \alpha = )（ ） A. ( -\frac{4}{3} ) \quad B. ( -\frac{3}{4} ) \quad C. ( \frac{4}{3} ) \quad D. ( \frac{3}{4} )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \ -x^2 + 2x, & x > 0 \end{cases} )，若方程 ( f(x) = a ) 有两个不相等的实数根，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( (0, 1] ) \quad B. ( (0, 1) ) \quad C. ( (-\infty, 1] ) \quad D. ( (-\infty, 1) )
已知抛物线 ( y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )，点 ( P ) 在抛物线上，且 ( |PF| = 5 )，则点 ( P ) 的横坐标为（ ） A. 1 \quad B. 2 \quad C. 3 \quad D. 4
已知三棱锥 ( S-ABC ) 的所有顶点都在球 ( O ) 的表面上，且 ( SA \perp ) 平面 ( ABC )，( SA = 2 )，( AB = 1 )，( AC = 2 )，( \angle BAC = 60^\circ )，则球 ( O ) 的表面积为（ ） A. ( 4\pi ) \quad B. ( 8\pi ) \quad C. ( 12\pi ) \quad D. ( 16\pi )
填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）
已知 ( \sin \theta = \frac{3}{5} )，且 ( \theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi) )，则 ( \cos \theta = )__。
在 ( (x - \frac{2}{\sqrt{x}})^6 ) 的展开式中，常数项为__。
已知椭圆 ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (2, 0) )，则椭圆的标准方程为__。
已知函数 ( f(x) = \ln x + ax^2 - (2a+1)x ) 在 ( (0, +\infty) ) 上存在单调递减区间，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( a \cos B + b \cos A = 2c \cos C )。 （1）求角 ( C ) 的大小； （2）若 ( a + b = 6 )，( \triangle ABC ) 的面积为 ( 2\sqrt{3} )，求边长 ( c )。
（12分）已知数列 ({a_n}) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2a_n - 2 )。 （1）求数列 ({a_n}) 的通项公式； （2）设 ( b_n = \log_2 a_n )，求数列 ({\frac{1}{bn b{n+1}}}) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。
（12分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是边长为2的正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，且 ( PA = 2 )，点 ( E ) 为线段 ( PC ) 的中点。 （1）求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )； （2）求二面角 ( E-BD-C ) 的正弦值。
（12分）某学校组织数学知识竞赛，共有20道选择题，每道题答对得5分，答错或不答得0分，已知某学生每道题答对的概率均为 ( \frac{3}{4} )，且各题答对与否相互独立。 （1）求该学生得分不低于80分的概率； （2）记该学生的得分为 ( X )，求 ( X ) 的数学期望 ( E(X) )。
（12分）已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 )。 （1）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性； （2）若 ( f(x) \geq 0 ) 对任意 ( x \in [0, +\infty) ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分）已知点 ( F(1, 0) ) 为椭圆 ( E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的右焦点，且椭圆过点 ( A(1, \frac{3}{2}) )。 （1）求椭圆 ( E ) 的标准方程； （2）过点 ( F ) 作两条互相垂直的直线 ( l_1, l_2 )，直线 ( l_1 ) 交椭圆于 ( P, Q ) 两点，直线 ( l_2 ) 交椭圆于 ( M, N ) 两点，求四边形 ( PMQN ) 面积的最小值。
2025年高二数学期末考试试卷（参考答案）
选择题
- B \quad 2. B \quad 3. A \quad 4. B \quad 5. A \quad 6. A
- D \quad 8. C \quad 9. A \quad 10. A \quad 11. D \quad 12. C
填空题13. ( -\frac{4}{5} ) \quad 14. ( 240 ) \quad 15. ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 ) \quad 16. ( (-\infty, \frac{1}{2}) )
解答题17. （1）由正弦定理，( a \cos B + b \cos A = 2c \cos C ) 化为 ( \sin A \cos B + \sin B \cos A = 2 \sin C \cos C )， 即 ( \sin(A+B) = \sin C = 2 \sin C \cos C )。 因为 ( \sin C \neq 0 )，( \cos C = \frac{1}{2} )，又 ( C \in (0, \pi) )，故 ( C = \frac{\pi}{3} )。 （2）由面积公式 ( S = \frac{1}{2}ab \sin C = 2\sqrt{3} )，得 ( ab = 8 )。 结合 ( a+b=6 )，由余弦定理 ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = (a+b)^2 - 3ab = 36 - 24 = 12 )， ( c = 2\sqrt{3} )。
（1）当 ( n=1 ) 时，( a_1 = S_1 = 2a_1 - 2 )，解得 ( a_1 = 2 )。 当 ( n \geq 2 ) 时，( a_n = Sn - S{n-1} = (2an - 2) - (2a{n-1} - 2) = 2an - 2a{n-1} )， ( an = 2a{n-1} )，故 ({a_n}) 是以2为首项，2为公比的等比数列，( a_n = 2^n )。 （2）( b_n = \log_2 2^n = n )，( \frac{1}{bn b{n+1}} = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )。 故 ( T_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} )。
（1）证明：连接 ( AC )，交 ( BD ) 于点 ( O )。 ∵ ( ABCD ) 为正方形，∴ ( AC \perp BD )。 ∵ ( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( BD \subset ) 平面 ( ABCD )，∴ ( PA \perp BD )。 又 ( PA \cap AC = A )，∴ ( BD \perp ) 平面 ( PAC )。 （2）以 ( A ) 为原点，建立空间直角坐标系 ( A-xyz )。 ( A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,2,0), P(0,0,2), C(2,2,0) )。 ∵ ( E ) 为 ( PC ) 中点，∴ ( E(1,1,1) )。 平面 ( BDC ) 法向量为 ( \vec{m} = (0,0,1) )。 设平面 ( BDE ) 法向量为 ( \vec{n} = (x,y,z) )， ( \overrightarrow{BD} = (-2,2,0), \overrightarrow{BE} = (-1,1,1) )， 由 ( \vec{n} \cdot \overrightarrow{BD} = -2x+2y=0 )，( \vec{n} \cdot \overrightarrow{BE} = -x+y+z=0 )，取 ( \vec{n} = (1,1,0) )。 设二面角 ( E-BD-C ) 的平面角为 ( \theta )， ( \cos \theta = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|} = 0 )，( \theta = \frac{\pi}{2} )，正弦值为 ( 1 )。
（1）设答对题数为 ( Y )，则 ( Y \sim B(20, \frac{3}{4}) )，得分 ( X=5Y )。 得分不低于80分，即 ( Y \geq 16 )。 ( P(Y \geq 16) = C{20}^{16}(\frac{3}{4})^{16}(\frac{1}{4})^{4} + C{20}^{17}(\frac{3}{4})^{17}(\frac{1}{4})^{3} + C{20}^{18}(\frac{3}{4})^{18}(\frac{1}{4})^{2} + C{20}^{19}(\frac{3}{4})^{19}(\frac{1}{4})^{1} + C_{20}^{20}(\frac{3}{4})^{20} )。 （2）( E(Y) = np = 20 \times \frac{3}{4} = 15 )，( E(X) = 5E(Y) = 75 )。
（1）( f'(x) = e^x - a )。 当 ( a \leq 0 ) 时，( f'(x) > 0 )，( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增。 当 ( a > 0 ) 时，令 ( f'(x) = 0 )，得 ( x = \ln a )。 若 ( x < \ln a )，( f'(x) < 0 )，( f(x) ) 单调递减； 若 ( x > \ln a )，( f'(x) > 0 )，( f(x) ) 单调递增。 （2）由（1）知，当 ( a \leq 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上递增，( f(x) \geq f(0) = 0 )，恒成立。 当 ( a > 0 ) 时，若 ( \ln a \leq 0 ) 即 ( 0 < a \leq 1 )，则 ( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上递增，( f(x) \geq f(0) = 0 )，成立。 若 ( \ln a > 0 ) 即 ( a > 1 )，则 ( f(x) ) 在 ( [0, \ln a) ) 上递减，在 ( (\ln a, +\infty) ) 上递增。 此时需 ( f(\ln a) = a - a \ln a - 1 \geq 0 )。 令 ( g(a) = a - a \ln a - 1 (a>1) )，( g'(a) = -\ln a < 0 )，( g(a) ) 递减，且 ( g(1)=0 )，所以当 ( a>1 ) 时 ( g(a) < 0 )，矛盾。 综上，实数 ( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, 1] )。
（1）由题意 ( c=1 )，则 ( a^2 = b^2 + 1 )。 将点 ( A(1, \frac{3}{2}) ) 代入椭圆方程得 ( \frac{1}{b^2+1} + \frac{9}{4b^2} = 1 )， 解得 ( b^2 = 3 )，( a^2 = 4 )。 故椭圆方程为 ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )。 （2）当直线 ( l_1, l_2 ) 斜率均存在且不为0时， 设 ( l_1: y = k(x-1) )，则 ( l_2: y = -\frac{1}{k}(x-1) )。 联立 ( \begin{cases} y = k(x-1) \ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \end{cases} )，得 ( (3+4k^2)x^2 - 8k^2 x +