- 本试卷旨在针对高三下学期数学薄弱环节进行诊断与强化,共分四个部分。
- 考试时间120分钟,满分150分。
- 请认真审题，规范作答,反思每道题对应的知识板块与方法。
第一部分：核心概念辨析（选择题，每题5分，共30分）
在“函数与导数”综合题中，若遇到“恒成立”或“存在性”问题，首先应考虑的核心方法是：（ ） A. 直接代入特殊值 B. 分离参数或构造函数求最值 C. 对方程直接求解 D. 画出精确函数图像
解析几何中，直线与圆锥曲线相交，涉及弦长、中点弦问题时，最通用的高效方法是：（ ） A. 联立方程，利用韦达定理 B. 仅使用几何性质 C. 使用三角函数参数方程 D. 直接测量
数列求和问题中，若通项公式形如“等差×等比”（如 n·2^n），应优先采用的方法是：（ ） A. 数学归纳法 B. 分组求和法 C. 裂项相消法 D. 错位相减法
空间向量在立体几何中证明“线面平行”的关键是：（ ） A. 证明直线的方向向量与平面内任意向量垂直 B. 证明直线的方向向量与平面的法向量平行 C. 证明直线的方向向量能用平面内两个不共线向量线性表示 D. 证明直线上两点到平面的距离相等
概率统计大题中，求解“分布列”与“数学期望”后，最后一步“根据结果做决策”的依据通常是：（ ） A. 比较期望值或方差大小 B. 选择概率最大的单一事件 C. 凭直觉判断 D. 只看最大值，忽略其他
高三下学期复习时，对待错题最有效的态度是：（ ） A. 看懂答案即可 B. 整理并定期重做，分析错误根源（知识、方法、计算） C. 大量做新题覆盖旧题 D. 只关注压轴题
第二部分：核心板块补弱解答题（共70分）
函数与导数（本题满分20分）7. 已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 )。 (1) (6分) 讨论 ( f(x) ) 的单调性； (2) (7分) 若 ( f(x) \geq 0 ) 对任意 ( x \in [0, +\infty) ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围； (3) (7分) 补弱反思：请总结解决此类“含参恒成立”问题的步骤和易错点。
解析几何（本题满分20分）8. 已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{4} + y^2 = 1 )，过点 ( P(1, \frac{1}{2}) ) 的直线 ( l ) 交椭圆于 ( A, B ) 两点（不与顶点重合）。 (1) (6分) 若 ( P ) 为线段 ( AB ) 的中点，求直线 ( l ) 的方程； (2) (8分) 设直线 ( PA, PB ) 的斜率分别为 ( k_1, k_2 )，求证：( k_1 + k_2 ) 为定值； (3) (6分) 补弱反思：在处理中点弦、斜率定值问题时，除了韦达定理,还有哪些常用技巧或思路？
数列与不等式（本题满分15分）9. 已知数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2a_n - 2 )。 (1) (5分) 求数列 ( {a_n} ) 的通项公式； (2) (5分) 设 ( b_n = \frac{n}{a_n} )，求数列 ( {b_n} ) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )； (3) (5分) 补弱反思：数列求通项 ( a_n ) 的常见模型（如 ( S_n ) 与 ( a_n ) 关系、等差等比、递推式）你掌握了几种？请简要列举。
概率统计（本题满分15分）10. 某校高三学生进行体能测试，男生达标概率为 ( \frac{3}{4} )，女生达标概率为 ( \frac{2}{3} )。 (1) (5分) 从男、女生中各随机抽取1人，求至少1人达标的概率； (2) (5分) 从该校高三所有学生中随机抽取3人，设达标人数为 ( X )，已知男生和女生人数相等，求 ( X ) 的分布列； (3) (5分) 补弱反思：二项分布与超几何分布的根本区别是什么？在本题(2)问中,为什么使用你所选用的分布模型？
第三部分：综合能力与应用（共30分）
（12分）在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA=AD=2， AB=1 )。 (1) 求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )； (2) 求二面角 ( B-PC-D ) 的余弦值； (3) 反思：立体几何问题，在“几何法”和“空间向量法”之间,你如何根据题目条件快速选择？
（18分）已知函数 ( f(x) = \ln x - mx )。 (1) 讨论 ( f(x) ) 的零点个数； (2) 若 ( f(x) ) 有两个零点 ( x_1, x_2 )，求证：( x_1 x_2 > e^2 )。 (3) 综合反思：请梳理函数零点问题与不等式证明（如极值点偏移）之间的关联,并说明此类题型的突破思路。
第四部分：复习策略自我评估（非答题，共20分）
请结合本试卷作答情况，诚实回答以下问题（用于自我规划）： (1) 在以上四个核心板块中，你认为自己最薄弱的是哪个？具体是概念不清、方法不熟还是计算易错？（5分） (2) 针对薄弱板块，你计划在接下来的复习中采取哪些具体措施？（①回归课本定义定理；②专题训练10道经典题；③整理该板块错题本并每周重做；④寻求老师针对性讲解）（5分） (3) 在时间安排上，你如何平衡“跟随老师复习节奏”与“自主查漏补缺”？（5分） (4) 你认为在最后冲刺阶段，保持数学手感和心态稳定的关键是什么？（5分）
总分：150分
（试卷结束）
说明：本模拟卷紧扣“高三下学期数学怎么补”的主题，不仅考查知识，更通过“补弱反思”和“自我评估”环节，引导学生进行诊断性练习、方法归纳和个性化复习规划，这正是高效补弱的核心路径，建议学生在规定时间完成后，对照答案深入分析，并将“反思”部分答案整理成个人复习指南。