- 本试卷满分150分,考试时间120分钟。
- 答题前,请确认您已熟悉电子版课本的基本操作与内容结构。
- 所有答案需逻辑清晰、步骤完整。
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
（三角函数定义）在电子版课本“第一章 三角函数”中，若角α的终边经过点P(-3, 4)，则sinα的值为（ ） A. 4/5 B. -3/5 C. 3/5 D. -4/5
（诱导公式）查阅电子课本“1.3 三角函数的诱导公式”，化简 sin(π - α) + cos(π + α) 的结果为（ ） A. 0 B. 2sinα C. sinα - cosα D. -2cosα
（平面向量概念）在“第二章 平面向量”的电子内容中，下列关于零向量的说法错误的是（ ） A. 模为0 B. 方向是任意的 C. 与任意向量平行 D. 没有相反向量
（向量运算）已知向量 a = (2, 1), b = (-1, 3)，则 2a - b 的坐标为（ ） A. (3, -1) B. (5, -1) C. (3, 5) D. (5, 5)
（三角恒等变换）根据电子版课本“第三章 三角恒等变换”的公式，sin15°cos15°的值为（ ） A. 1/4 B. √3/4 C. 1/2 D. √2/4
（和差公式）若cosα = 3/5，sinβ = 5/13，且α，β为锐角，则cos(α - β)的值为（ ） A. 33/65 B. 56/65 C. 16/65 D. 63/65
（向量共线条件）若向量 a = (k, 2) 与 b = (6, 3) 共线，则实数k的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 3 D. -3
（函数y=Asin(ωx+φ)）在电子课本“1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像”中，要得到函数y=sin(2x - π/3)的图像，只需将y=sin2x的图像（ ） A. 向左平移π/6个单位 B. 向右平移π/6个单位 C. 向左平移π/3个单位 D. 向右平移π/3个单位
（二倍角公式）化简 2cos²22.5° - 1 的结果为（ ） A. √2/2 B. √3/2 C. 1/2 D. cos45°
（向量数量积）已知 |a| = 2, |b| = 3，a与b的夹角为120°，则 a·b 的值为（ ） A. -3 B. 3 C. -3√3 D. 3√3
（正切和差公式）tan75°的值为（ ） A. 2 - √3 B. 2 + √3 C. √3 - 1 D. √3 + 1
（向量应用）在△ABC中，D为BC中点，若向量AB = a, AC = b，则向量AD可表示为（ ） A. (a + b)/2 B. (a - b)/2 C. (b - a)/2 D. a + b
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
（弧度制）根据电子课本“1.1 任意角和弧度制”，225°角的弧度数是__。
（同角三角函数）若tanα = 2，且α在第三象限，则sinα =__。
（向量模长）已知向量 a = (1, √3)，则 |a| =__。
（三角变换公式）sin²α + cos²α =__； sin(π/2 - α) =__。（两空分别计3分和2分）
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）（三角函数基本关系） 已知 sinα = 4/5，且α为第二象限角。 （1）求cosα和tanα的值； （2）求 (sinα + cosα) / (sinα - cosα) 的值。
（12分）（向量线性运算） 已知向量 a = (1, 2)， b = (-3, 1)， c = (5, 4)。 （1）求向量 3a + 2b - c 的坐标； （2）若向量 c = λa + μb（λ，μ∈R），求λ和μ的值。
（12分）（三角恒等变换综合） 利用电子版课本第三章的公式，证明下列恒等式： （1）(sinθ + cosθ)² = 1 + sin2θ； （2）(1 + tanα) / (1 - tanα) = tan(α + π/4)。
（12分）（函数y=Asin(ωx+φ)的性质） 已知函数 f(x) = 2sin(2x + π/6)。 （1）求函数f(x)的最小正周期、振幅和初相； （2）求函数f(x)的单调递增区间； （3）说明如何利用电子课本中的“五点法”在坐标系中作出该函数一个周期内的简图。
（12分）（向量数量积的应用） 在△ABC中，已知 |AB| = 3， |AC| = 4，∠BAC = 60°。 （1）求向量AB · 向量AC的值； （2）求边BC的长度。
（12分）（数学探究与电子课本使用） 本题旨在考查对电子版课本的综合利用能力。 （1）请描述在电子版课本中，你是如何快速查找“两角和与差的正弦公式”的具体位置的（如利用目录、搜索功能等）。 （2）请结合“第二章 平面向量”和“第三章 三角恒等变换”的内容，尝试用向量的数量积证明公式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ。（提示：设两个单位向量，其夹角为α-β） （3）谈谈使用电子版课本进行数学学习与传统纸质课本相比，有哪些优势和不足（至少各写一点）。
（试卷结束）
2025年高中数学必修4电子版课本综合测试卷（带答案）
选择题答案：
A 2. C 3. D 4. B 5. A 6. B 7. A 8. B 9. A 10. A 11. B 12. A
填空题答案：13. 5π/4 14. -2√5/5 （或 -2/√5） 15. 2 16. 1； cosα
解答题答案要点：
(1) ∵α在第二象限，∴cosα = -√(1 - sin²α) = -3/5， tanα = sinα/cosα = -4/3。 (2) 原式 = (4/5 - 3/5) / (4/5 - (-3/5)) = (1/5) / (7/5) = 1/7。
(1) 3a = (3,6)， 2b = (-6,2)， c = (5,4)。 3a+2b-c = (3-6-5, 6+2-4) = (-8, 4)。 (2) 由 (5,4) = λ(1,2) + μ(-3,1) = (λ - 3μ, 2λ + μ)， 得方程组：λ - 3μ = 5， 2λ + μ = 4。 解得：λ = 17/7， μ = -6/7。
(1) 证明：左边 = sin²θ + cos²θ + 2sinθcosθ = 1 + sin2θ = 右边。 (2) 证明：右边 = (tanα + tanπ/4) / (1 - tanαtanπ/4) = (tanα + 1) / (1 - tanα) = 左边。
(1) 最小正周期 T = 2π/2 = π； 振幅 A = 2； 初相 φ = π/6。 (2) 令 2kπ - π/2 ≤ 2x + π/6 ≤ 2kπ + π/2 (k∈Z)， 解得 kπ - π/3 ≤ x ≤ kπ + π/6 (k∈Z)。 故单调递增区间为 [kπ - π/3, kπ + π/6] (k∈Z)。 (3) ① 列表：令X=2x+π/6，取X=0, π/2, π, 3π/2, 2π，求出对应x和f(x)值。 ② 在坐标系中描出五个关键点。 ③ 用光滑曲线连接，得到一个周期的简图。
(1) 向量AB · 向量AC = |AB|·|AC|·cos∠BAC = 3×4×cos60° = 6。 (2) 由余弦定理：|BC|² = |AB|² + |AC|² - 2|AB||AC|cos∠BAC = 9+16-2×3×4×(1/2)=13。 故 |BC| = √13。
(1) 示例：方法一：打开电子课本目录，点击进入“第三章 三角恒等变换”，在3.1节“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”中查找，方法二：使用电子课本的搜索功能，输入“两角和与差的正弦公式”，直接定位。 (2) 证明：设两个单位向量 a = (cosα, sinα)， b = (cosβ, sinβ)，则 a·b = cosαcosβ + sinαsinβ，又因为 a·b = |a||b|cos(α-β) = 1×1×cos(α-β) = cos(α-β)，cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ。 (3) 优势示例：携带方便，资源丰富（可链接动画、视频演示），具有搜索功能便于查找，互动性强。 不足示例：长时间阅读可能容易视觉疲劳，对电子设备及电力有依赖，笔记和批注方式可能与纸质习惯不同。