- 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
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选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
A. ( (0, 3) )
B. ( (0, 3] )
C. ( [-2, 4] )
D. ( [0, 3) )若函数 ( f(x) = \sqrt{2x - 1} + \frac{1}{x - 2} ) 的定义域为（ ）
A. ( [\frac{1}{2}, 2) \cup (2, +\infty) )
B. ( (\frac{1}{2}, +\infty) )
C. ( [\frac{1}{2}, +\infty) )
D. ( [\frac{1}{2}, 2) \cup (2, +\infty) )已知 ( a = \log_2 3 )，( b = 2^{0.5} )，( c = \frac{1}{2}^{-1.2} )，则大小关系为（ ）
A. ( a > b > c )
B. ( b > a > c )
C. ( c > a > b )
D. ( c > b > a )函数 ( f(x) = x^2 - 4|x| + 3 ) 的单调递减区间为（ ）
A. ( (-\infty, -2) ) 和 ( (0, 2) )
B. ( (-2, 0) ) 和 ( (2, +\infty) )
C. ( (-\infty, -2) ) 和 ( (2, +\infty) )
D. ( (-2, 2) )若 ( \alpha ) 是第二象限角，且 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \tan \alpha = )（ ）
A. ( -\frac{3}{4} )
B. ( \frac{3}{4} )
C. ( -\frac{4}{3} )
D. ( \frac{4}{3} )已知 ( \sin(\pi + \theta) = -\frac{1}{3} )，则 ( \cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = )（ ）
A. ( -\frac{1}{3} )
B. ( \frac{1}{3} )
C. ( -\frac{2\sqrt{2}}{3} )
D. ( \frac{2\sqrt{2}}{3} )不等式 ( \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0 ) 的解集为（ ）
A. ( (-2, 1] )
B. ( [-2, 1] )
C. ( (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) )
D. ( (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) )已知函数 ( f(x) = \begin{cases} 2^x, & x \leq 1 \ \log_2 x, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(2)) = )（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4若 ( a > 0 )，( b > 0 )，且 ( a + 2b = 4 )，则 ( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} ) 的最小值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5函数 ( f(x) = \ln(x^2 - 2x - 3) ) 的增区间为（ ）
A. ( (3, +\infty) )
B. ( (-\infty, -1) )
C. ( (1, +\infty) )
D. ( (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) )已知 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则当 ( x < 0 ) 时，( f(x) = )（ ）
A. ( -x^2 - 2x )
B. ( -x^2 + 2x )
C. ( x^2 + 2x )
D. ( x^2 - 2x )若函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 5 ) 在区间 ( [1, 3] ) 上单调递增，则 ( a ) 的取值范围是（ ）
A. ( (-\infty, 1] )
B. ( [1, +\infty) )
C. ( (-\infty, 3] )
D. ( [3, +\infty) )
填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 计算：( \left( \frac{9}{4} \right)^{0.5} + \log_3 9 - 8^{\frac{2}{3}} = )__。
已知 ( \tan \theta = 2 )，则 ( \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = )__。
若函数 ( f(x) = x^2 - 2x + k ) 在区间 ( [0, 2] ) 上有零点，则 ( k ) 的取值范围是__。
已知 ( f(x) = \log_a (2x - 1) + 1 )（( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）的图像恒过定点 ( P )，则点 ( P ) 的坐标为__。
解答题（共6小题，共70分）
17. （10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid -3 \leq x < 4 } )，( B = { x \mid x^2 - 5x + 6 \geq 0 } )。
（1）求 ( A \cup B )；
（2）求 ( \complement_U (A \cap B) )。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。
（1）判断 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并证明；
（2）求函数 ( f(x) ) 在 ( [2, 5] ) 上的值域。（12分）已知 ( \alpha ) 为锐角，且 ( \sin \alpha = \frac{4}{5} )。
（1）求 ( \cos \alpha ) 与 ( \tan \alpha ) 的值；
（2）求 ( \sin 2\alpha + \cos 2\alpha ) 的值。（12分）已知二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + c ) 的图像过点 ( (0, 1) )，且满足 ( f(x + 1) - f(x) = 2x )。
（1）求 ( f(x) ) 的解析式；
（2）若 ( f(x) \geq mx ) 在 ( x \in [1, 3] ) 上恒成立，求 ( m ) 的取值范围。（12分）已知函数 ( f(x) = \log_2 (x^2 - ax + 3) )。
（1）若 ( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )，求 ( a ) 的取值范围；
（2）若 ( f(x) ) 在区间 ( [2, +\infty) ) 上单调递增，求 ( a ) 的取值范围。（12分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足：对任意 ( x, y \in \mathbb{R} )，有 ( f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy )，且 ( f(1) = 1 )。
（1）求 ( f(0) ) 的值；
（2）证明：( f(x) ) 为奇函数；
（3）若 ( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上单调递增，解不等式 ( f(2x) + f(x - 1) > 6 )。
参考答案
选择题
- D
- A
- C
- A
- A
- B
- A
- B
- B
- A
- C
- A
填空题
13. 0
14. 3
15. ( [-1, 1] )
16. ( (1, 1) )
解答题
17. （1）( B = (-\infty, 2] \cup [3, +\infty) )，( A \cup B = (-\infty, 4) )；
（2）( A \cap B = [-3, 2] \cup [3, 4) )，( \complement_U (A \cap B) = (-\infty, -3) \cup (2, 3) \cup [4, +\infty) )。
（1）单调递减，证明略；
（2）值域为 ( \left[ \frac{3}{2}, \frac{9}{6} \right] )。（1）( \cos \alpha = \frac{3}{5} )，( \tan \alpha = \frac{4}{3} )；
（2）( \sin 2\alpha = \frac{24}{25} )，( \cos 2\alpha = -\frac{7}{25} )，和为 ( \frac{17}{25} )。（1）( f(x) = x^2 - x + 1 )；
（2）( m \leq 1 )。（1）( -2\sqrt{3} < a < 2\sqrt{3} )；
（2）( a \leq 4 )。（1）( f(0) = 0 )；
（2）证明略；
（3）解集为 ( (1, +\infty) )。
试卷结束