选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
已知集合 ( A = { x \mid -2 \le x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \le 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
A. ( [0, 3) )
B. ( [0, 3] )
C. ( [-2, 4] )
D. ( (0, 3) )复数 ( z = \frac{2+i}{1-i} ) 的虚部为（ ）
A. ( \frac{3}{2} )
B. ( -\frac{1}{2} )
C. ( \frac{1}{2} )
D. ( \frac{3}{2}i )已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则实数 ( m = )（ ）
A. 2
B. -2
C. ( \frac{1}{2} )
D. ( -\frac{1}{2} )函数 ( f(x) = \ln(x+1) + \sqrt{4-x} ) 的定义域为（ ）
A. ( (-1, 4] )
B. ( [-1, 4] )
C. ( (1, 4] )
D. ( [-1, 4) )在等差数列 ( {a_n} ) 中，( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( a_5 = )（ ）
A. 5
B. 6
C. 8
D. 10已知角 ( \alpha ) 终边过点 ( P(3, -4) )，则 ( \sin \alpha + \cos \alpha = )（ ）
A. ( -\frac{1}{5} )
B. ( \frac{1}{5} )
C. ( -\frac{7}{5} )
D. ( \frac{7}{5} )若 ( x > 0 )，( y > 0 ) 且 ( x + 2y = 4 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} ) 的最小值为（ ）
A. 2
B. ( \frac{9}{4} )
C. 3
D. 4已知直线 ( l_1: ax + 2y + 1 = 0 ) 与 ( l_2: x + (a-1)y + 2 = 0 ) 平行，则 ( a = )（ ）
A. -1
B. 2
C. -1 或 2
D. 1 或 -2某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（ ）
（注：三视图描述为：主视图和左视图均为底边6cm、高4cm的等腰三角形，俯视图为边长为6cm的正方形）
A. ( 24 \, \text{cm}^3 )
B. ( 48 \, \text{cm}^3 )
C. ( 72 \, \text{cm}^3 )
D. ( 96 \, \text{cm}^3 )将函数 ( f(x) = \sin 2x ) 的图象向左平移 ( \frac{\pi}{6} ) 个单位后得到函数 ( g(x) ) 的图象，则 ( g(x) = )（ ）
A. ( \sin(2x + \frac{\pi}{6}) )
B. ( \sin(2x + \frac{\pi}{3}) )
C. ( \cos 2x )
D. ( -\cos 2x )已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 )（( a>0, b>0 )）的离心率为 ( \sqrt{3} )，则其渐近线方程为（ ）
A. ( y = \pm \sqrt{2}x )
B. ( y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}x )
C. ( y = \pm 2x )
D. ( y = \pm \frac{1}{2}x )已知函数 ( f(x) = \begin{cases} e^x - 1, & x \le 1 \ \ln x + 2, & x > 1 \end{cases} )，则方程 ( f(x) = 2 ) 的解的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知 ( \tan \alpha = 2 )，则 ( \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} = )__．
二项式 ( (2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^6 ) 的展开式中常数项为__．
已知抛物线 ( y^2 = 8x ) 的焦点为 ( F )，点 ( P ) 在抛物线上，若 ( |PF| = 6 )，则点 ( P ) 的横坐标为__．
已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x + a ) 有三个零点，则实数 ( a ) 的取值范围是__．
解答题（共6小题，共70分）
17. （10分）在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( b \cos C + c \cos B = 2a \cos A )．
（1）求角 ( A ) 的大小；
（2）若 ( a = 2\sqrt{3} )，( b = 2 )，求 ( \triangle ABC ) 的面积．
（12分）已知数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2a_n - 2 )．
（1）求数列 ( {a_n} ) 的通项公式；
（2）设 ( b_n = \log_2 a_n )，求数列 ( \left{ \frac{1}{bn b{n+1}} \right} ) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )．（12分）如图，四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AD = 2 )，( AB = 1 )，( E ) 为 ( PD ) 中点．
（1）求证：( PB \parallel ) 平面 ( AEC )；
（2）求二面角 ( E-AC-D ) 的余弦值．（12分）某校举行数学竞赛，初赛共有1000名学生参加，成绩服从正态分布 ( N(72, \sigma^2) )，现从初赛成绩中随机抽取100名学生的成绩（单位：分）作为样本，得到如下频数分布表：
| 分数段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
|---|---|---|---|---|---|
| 频数 | 10 | 25 | 40 | 20 | 5 |
（1）求样本平均分 ( \bar{x} ) 和样本方差 ( s^2 )（同一组数据用该组区间中点值代表）；
（2）若初赛成绩前200名可进入复赛，试估计进入复赛的分数线（精确到整数）．
参考数据：若 ( X \sim N(\mu, \sigma^2) )，则 ( P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0.6827 )，( P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0.9545 )．
（12分）已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 )（( a > b > 0 )）的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )．
（1）求椭圆 ( C ) 的方程；
（2）设直线 ( l: y = kx + m ) 与椭圆 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，若以 ( AB ) 为直径的圆经过坐标原点 ( O )，求实数 ( m ) 的值．（12分）已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 )（( a \in \mathbb{R} )）．
（1）讨论 ( f(x) ) 的单调性；
（2）当 ( x \ge 0 ) 时，( f(x) \ge \frac{1}{2}x^2 )，求 ( a ) 的取值范围．
参考答案
2025年高中数学学业水平综合测试卷（带答案）
选择题
1-5：A A A A A
6-10：A B B B B
11-12：A C
填空题
13. 3
14. 240
15. 4
16. ( (-2, 2) )
解答题
17.（1）( A = \frac{\pi}{3} )；（2）面积 ( S = \sqrt{3} )．
18.（1）( a_n = 2^n )；（2）( T_n = \frac{n}{n+1} )．
19.（1）略；（2）余弦值为 ( \frac{\sqrt{6}}{3} )．
20.（1）( \bar{x} = 73 )，( s^2 = 124 )；（2）分数线约为 83 分．
21.（1）( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )；（2）( m = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5} )．
22.（1）当 ( a \le 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增；当 ( a > 0 ) 时，在 ( (-\infty, \ln a) ) 单调递减，在 ( (\ln a, +\infty) ) 单调递增；
（2）( a \le \frac{3}{2} )．
试卷结束