（满分：150分 考试时间：120分钟）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {2, 3, 5} )，则 ( A \cap ( \complement_U B ) = ) （ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {3} ) \quad C. ( {1, 3} ) \quad D. ( {1, 4} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是 （ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad B. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad D. ( \forall x \leq 0, \, x^2 + 1 > 0 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是 （ ） A. ( [1, +\infty) ) \quad B. ( [1, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( (1, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad D. ( [1, 3) )
已知 ( a, b \in \mathbb{R} )，则“ ( a > b ) ”是“ ( a^3 > b^3 ) ”的 （ ） A. 充分不必要条件 \quad B. 必要不充分条件 C. 充要条件 \quad D. 既不充分也不必要条件
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = ) （ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
已知 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^{0.2} )， ( c = \log_{0.2} 0.3 )，则 （ ） A. ( a > b > c ) \quad B. ( a > c > b ) \quad C. ( b > a > c ) \quad D. ( c > a > b )
函数 ( f(x) = \ln(x^2 - 2x - 3) ) 的单调递增区间是 （ ） A. ( (-\infty, -1) ) \quad B. ( (-\infty, 1) ) \quad C. ( (1, +\infty) ) \quad D. ( (3, +\infty) )
若正实数 ( x, y ) 满足 ( x + 2y = 1 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} ) 的最小值为 （ ） A. 8 \quad B. 9 \quad C. 10 \quad D. 12
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) = 2^x - 3 )，则 ( f(-2) = ) （ ） A. 1 \quad B. -1 \quad C. 7 \quad D. -7
已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 5 ) 在区间 ( [1, 3] ) 上单调，则实数 ( a ) 的取值范围是 （ ） A. ( (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) ) \quad B. ( [1, 3] ) C. ( (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) ) \quad D. ( (1, 3) )
已知函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} )，则其图象大致为 （ ） A. \quad B. \quad C. \quad D. （此处应为四个函数图像选项,描述略）
设函数 ( f(x) = |\lg x| )，若 ( 0 < a < b ) 且 ( f(a) = f(b) )，则 ( a + 2b ) 的取值范围是 （ ） A. ( (2\sqrt{2}, +\infty) ) \quad B. ( [2\sqrt{2}, +\infty) ) \quad C. ( (3, +\infty) ) \quad D. ( [3, +\infty) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = )__。
计算： ( \left( 2\frac{1}{4} \right)^{0.5} - (-0.5)^{-2} + 8^{\frac{2}{3}} = )__。
已知函数 ( f(x) = \log_a (2x - 1) + 2 ) (( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )) 的图象恒过定点 ( P )，则点 ( P ) 的坐标为__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2ax, & x \leq 2 \ \log_2 x + a, & x > 2 \end{cases} ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的增函数，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）已知集合 ( A = { x | \frac{x-4}{x+2} \leq 0 } )， ( B = { x | x^2 - 4x + 3 \geq 0 } )。 (1) 求 ( A \cap B )； (2) 若集合 ( C = { x | m - 1 \leq x \leq 2m + 1 } )，且 ( (A \cap B) \subseteq C )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 (1) 判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； (2) 求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。
（12分）已知函数 ( f(x) = \log_3 (9^x + 1) - x )。 (1) 证明：函数 ( f(x) ) 是偶函数； (2) 若不等式 ( f(x) > \frac{1}{2} \log_3 (a \cdot 3^x) ) 对任意 ( x \in \mathbb{R} ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： [ R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000, & x > 400 \end{cases} ] ( x ) 是仪器的月产量（单位：台）。 (1) 将月利润 ( y )（元）表示为月产量 ( x )（台）的函数； (2) 当月产量为何值时，公司所获月利润最大？最大月利润是多少元？
（12分）已知定义在 ( (-1, 1) ) 上的函数 ( f(x) ) 满足：对任意 ( x, y \in (-1, 1) )，都有 ( f(x) + f(y) = f\left( \frac{x+y}{1+xy} \right) )。 (1) 求 ( f(0) ) 的值； (2) 判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性，并说明理由； (3) 若当 ( x \in (-1, 0) ) 时，有 ( f(x) > 0 )，求证： ( f(x) ) 在 ( (-1, 1) ) 上是减函数。
（12分）已知函数 ( f(x) = a \cdot 2^x - 2^{2-x} ) (( a \in \mathbb{R} ))。 (1) 若 ( f(x) ) 为奇函数，求 ( a ) 的值； (2) 当 ( a = 2 ) 时，求方程 ( f(x) = 3 ) 的解； (3) 若关于 ( x ) 的方程 ( f(x) = (a+1) \cdot 2^x ) 在区间 ( [0, 2] ) 上有实数解，求 ( a ) 的取值范围。
2025年高一数学必修一综合测试卷（参考答案）
选择题
- A \quad 2. B \quad 3. B \quad 4. C \quad 5. D \quad 6. A
- D \quad 8. B \quad 9. B \quad 10. A \quad 11. A \quad 12. C
填空题13. 1 \quad 14. -1 \quad 15. ( (1, 2) ) \quad 16. ( [\frac{5}{2}, +\infty) )
解答题17. (1) ( A = (-2, 4] )， ( B = (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) )， ( A \cap B = (-2, 1] \cup [3, 4] )。 (2) 由 ( (A \cap B) \subseteq C ) 得 ( m-1 \leq -2 ) 且 ( 2m+1 \geq 4 )，解得 ( m \leq -1 ) 且 ( m \geq \frac{3}{2} )，无解，或考虑 ( C ) 包含整个区间，需 ( m-1 \leq -2 ) 且 ( 2m+1 \geq 4 )，无解；若 ( C ) 为空集，即 ( m-1 > 2m+1 )，得 ( m < -2 )，此时也满足包含关系，综上， ( m < -2 )。
(1) 单调递减，证明：任取 ( 1 < x_1 < x_2 )，( f(x_1) - f(x_2) = \frac{3(x_2 - x_1)}{(x_1+1)(x_2+1)} > 0 )，故 ( f(x_1) > f(x_2) )，单调递减。 (2) 由(1)知，( f(x) ) 在 ( [2, 5] ) 上单调递减，值域为 ( [f(5), f(2)] = [\frac{3}{2}, 1] )。
(1) ( f(-x) = \log_3(9^{-x}+1) + x = \log_3(1+9^x) - x = f(x) )，为偶函数。 (2) 原不等式化为 ( \log_3(9^x+1) > \log_3(a \cdot 3^x) + \frac{1}{2} )，即 ( 9^x+1 > \sqrt{3} a \cdot 3^x )，令 ( t = 3^x > 0 )，得 ( t^2 - \sqrt{3} a t + 1 > 0 ) 恒成立，故 ( \Delta = 3a^2 - 4 < 0 )，解得 ( -\frac{2\sqrt{3}}{3} < a < \frac{2\sqrt{3}}{3} )。
(1) ( y = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 300x - 20000, & 0 \leq x \leq 400 \ 60000 - 100x, & x > 400 \end{cases} ) (2) 当 ( 0 \leq x \leq 400 ) 时，( y = -\frac{1}{2}(x-300)^2 + 25000 )，当 ( x=300 ) 时，( y_{max}=25000 )；当 ( x>400 ) 时，( y ) 单调递减，最大值小于25000，故当月产量为300台时,最大月利润为25000元。
(1) 令 ( x=y=0 )，得 ( 2f(0)=f(0) )，故 ( f(0)=0 )。 (2) 令 ( y=-x )，得 ( f(x)+f(-x)=f(0)=0 )，故为奇函数。 (3) 任取 ( -1 < x_1 < x_2 < 1 )，令 ( x=x_1 )， ( y=-x_2 )，则 ( f(x_1)+f(-x_2)=f\left( \frac{x_1 - x_2}{1 - x_1 x_2} \right) )，由 ( x_1 - x_2 < 0 )，( 1 - x_1 x_2 > 0 )，知 ( \frac{x_1 - x_2}{1 - x_1 x_2} \in (-1, 0) )，故 ( f\left( \frac{x_1 - x_2}{1 - x_1 x_2} \right) > 0 )，即 ( f(x_1) - f(x_2) > 0 )，( f(x_1) > f(x_2) ),为减函数。
(1) 由 ( f(0)=0 ) 得 ( a-2=0 )，故 ( a=2 )。 (2) 当 ( a=2 ) 时，方程化为 ( 2^{x+1} - 2^{2-x} = 3 )，令 ( t=2^x >0 )，得 ( 2t - \frac{4}{t} = 3 )，解得 ( t=2 ) 或 ( t=-\frac{1}{2} )（舍），故 ( x=1 )。 (3) 方程化为 ( a \cdot 2^x - 2^{2-x} = (a+1)\cdot 2^x )，即 ( -2^{2-x} = 2^x )，即 ( 2^{2-x} = -2^x )，此方程无解，或原方程整理为 ( -2^{2-x} = 2^x )，即 ( 2^{2} = -2^{2x} )，矛盾，故不存在这样的 ( a ) 使方程在 ( [0, 2] ) 上有解。（注：此题设计可能存在歧义，更合理的方程形式或条件需调整,此处按原式推导）