- 本试卷参考人教版高中数学必修一电子书内容命题。
- 考试时间：120分钟，满分：150分。
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {2, 3, 5} )，则 ( A \cap ( \complement_U B ) = ) （ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {3} ) \quad C. ( {1, 3} ) \quad D. ( {1, 4} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是 （ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad B. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 1 \leq 0 ) \quad D. ( \forall x \leq 0, \, x^2 + 1 > 0 )
下列函数中，与函数 ( y = x ) 表示同一函数的是 （ ） A. ( y = \sqrt{x^2} ) \quad B. ( y = (\sqrt{x})^2 ) \quad C. ( y = \frac{x^2}{x} ) \quad D. ( y = \sqrt[3]{x^3} )
已知 ( a, b, c \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是 （ ） A. ( a^2 > b^2 ) \quad B. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) \quad C. ( ac^2 > bc^2 ) \quad D. ( a(c^2+1) > b(c^2+1) )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域为 （ ） A. ( [1, +\infty) ) \quad B. ( [1, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad C. ( (1, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad D. ( [1, 3] )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = ) （ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
已知 ( x > -1 )，则 ( x + \frac{4}{x+1} ) 的最小值为 （ ） A. 2 \quad B. 3 \quad C. 4 \quad D. 5
函数 ( f(x) = |x|(1 - x) ) 的单调递增区间是 （ ） A. ( (-\infty, 0] ) \quad B. ( [0, \frac{1}{2}] ) \quad C. ( [\frac{1}{2}, +\infty) ) \quad D. ( (-\infty, \frac{1}{2}] )
若奇函数 ( f(x) ) 在区间 ( [3, 7] ) 上是增函数，且最小值为5，则 ( f(x) ) 在区间 ( [-7, -3] ) 上是 （ ） A. 增函数且最小值为-5 \quad B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 \quad D. 减函数且最大值为-5
设 ( a = \log_2 0.3, \, b = 2^{0.3}, \, c = 0.3^{0.2} )，则 （ ） A. ( a < b < c ) \quad B. ( a < c < b ) \quad C. ( b < c < a ) \quad D. ( c < a < b )
函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在的大致区间是 （ ） A. ( (0, 1) ) \quad B. ( (1, 2) ) \quad C. ( (2, e) ) \quad D. ( (3, 4) )
定义在 ( \mathbb{R} ) 上的偶函数 ( f(x) ) 满足：对任意的 ( x_1, x_2 \in [0, +\infty) (x_1 \neq x_2) )，有 ( \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} < 0 )，则 （ ） A. ( f(3) < f(-2) < f(1) ) \quad B. ( f(1) < f(-2) < f(3) ) C. ( f(-2) < f(1) < f(3) ) \quad D. ( f(3) < f(1) < f(-2) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - m - 1)x^{m^2 - 2m - 3} ) 在 ( (0, +\infty) ) 上是减函数，则 ( m = )__。
已知集合 ( A = {x | ax^2 - 3x + 2 = 0} ) 至多有一个元素，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
若函数 ( f(x) = \log_a (2x^2 + x) ) (( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )) 在区间 ( (0, \frac{1}{2}) ) 内恒有 ( f(x) > 0 )，则 ( a ) 的取值范围是__。
黎曼函数是一个特殊的函数，在高等数学中有着广泛的应用，黎曼函数 ( R(x) ) 定义如下：当 ( x = \frac{p}{q} )（( p, q ) 为正整数，( \frac{p}{q} ) 为既约真分数）时，( R(x) = \frac{1}{q} )；当 ( x = 0, 1 ) 或 ( (0, 1) ) 内的无理数时，( R(x) = 0 )，已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，且当 ( x \in (0, 1) ) 时，( f(x) = R(x) )，则 ( f(\frac{2}{3}) + f(-\frac{1}{2}) + f(\sqrt{2}-1) = )__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = {x | 3 \leq x < 10} )，( B = {x | 2 < x \leq 7} )。 （1）求 ( A \cup B )， ( \complement_U (A \cap B) )； （2）若集合 ( C = {x | a \leq x \leq 2a + 3} )，且 ( B \cap C = C )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分） （1）计算：( (2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} - (-9.6)^0 - (\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}} + (\frac{3}{2})^{-2} )； （2）已知 ( \lg 2 = a, \, \lg 3 = b )，试用 ( a, b ) 表示 ( \log_5 12 )。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x-1}{x+1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的最大值和最小值。
（12分）已知二次函数 ( f(x) ) 满足 ( f(0) = 1 )，且 ( f(x+1) - f(x) = 2x )。 （1）求 ( f(x) ) 的解析式； （2）若函数 ( g(x) = f(x) - 2mx ) 在区间 ( [-1, 2] ) 上是单调函数，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： [ R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000, & x > 400 \end{cases} ] ( x ) 是仪器的月产量（单位：台）。 （1）将月利润 ( f(x) ) 表示为月产量 ( x ) 的函数（利润=总收益-总成本）； （2）当月产量为何值时，公司所获月利润最大？最大月利润是多少元？
（12分）已知定义在 ( (-1, 1) ) 上的函数 ( f(x) ) 满足：对任意 ( x, y \in (-1, 1) ) 都有 ( f(x) + f(y) = f(\frac{x+y}{1+xy}) )。 （1）求证：( f(x) ) 是奇函数； （2）如果当 ( x \in (-1, 0) ) 时，有 ( f(x) > 0 )，判断 ( f(x) ) 在 ( (-1, 1) ) 上的单调性，并予以证明； （3）在（2）的条件下，解不等式 ( f(t) + f(t-1) > 0 )。
2025年高中数学必修一人教版电子综合测试卷参考答案
选择题
- A \quad 2. B \quad 3. D \quad 4. D \quad 5. B \quad 6. C
- B \quad 8. B \quad 9. B \quad 10. B \quad 11. B \quad 12. D
填空题13. 2 \quad 14. ( {0} \cup [\frac{9}{8}, +\infty) ) \quad 15. ( (1, +\infty) ) \quad 16. ( \frac{1}{6} )
解答题17. 解： (1) ( A \cup B = {x | 2 < x < 10} )； ( A \cap B = {x | 3 \leq x \leq 7} )， ( \complement_U (A \cap B) = {x | x < 3 \text{ 或 } x > 7} )。 (2) 由 ( B \cap C = C ) 得 ( C \subseteq B )。 当 ( C = \emptyset ) 时， ( a > 2a + 3 )，解得 ( a < -3 )； 当 ( C \neq \emptyset ) 时，需满足 ( \begin{cases} a \leq 2a+3 \ a > 2 \ 2a+3 \leq 7 \end{cases} )，解得 ( 2 < a \leq 2 )。 综上，实数 ( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, -3) \cup (2, 2] )。（注：第二段解集实际为 ( \emptyset )） 故最终答案为 ( (-\infty, -3) )。
解： (1) 原式 ( = \frac{3}{2} - 1 - (\frac{4}{9}) + \frac{4}{9} = \frac{1}{2} )。 (2) ( \log_5 12 = \frac{\lg 12}{\lg 5} = \frac{\lg (3 \times 2^2)}{\lg \frac{10}{2}} = \frac{\lg 3 + 2\lg 2}{1 - \lg 2} = \frac{b + 2a}{1 - a} )。
解： (1) 函数 ( f(x) ) 在 ( [1, +\infty) ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in [1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_1-1}{x_1+1} - \frac{2x_2-1}{x_2+1} = \frac{(2x_1-1)(x_2+1)-(2x_2-1)(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)} = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)} )。 由 ( x_1, x_2 \geq 1 )，得 ( x_1+1 > 0, x_2+1 > 0, x_1 - x_2 < 0 )，故 ( f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x2) )。 ( f(x) ) 在 ( [1, +\infty) ) 上单调递增。 (2) 由（1）知，( f(x) ) 在 ( [2, 5] ) 上单调递增，故当 ( x=2 ) 时，( f(x){\min} = f(2) = 1 )；当 ( x=5 ) 时，( f(x)_{\max} = f(5) = \frac{3}{2} )。
解： (1) 设 ( f(x) = ax^2 + bx + c (a \neq 0) )，由 ( f(0)=1 ) 得 ( c=1 )。 由 ( f(x+1)-f(x)=2x ) 得 ( a(x+1)^2+b(x+1)+1 - (ax^2+bx+1) = 2ax + a + b = 2x )。 ( \begin{cases} 2a = 2 \ a+b = 0 \end{cases} )，解得 ( a=1, b=-1 )，故 ( f(x) = x^2 - x + 1 )。 (2) ( g(x) = x^2 - x + 1 - 2mx = x^2 - (2m+1)x + 1 )，对称轴为 ( x = m + \frac{1}{2} )。 要使 ( g(x) ) 在 ( [-1, 2] ) 上单调，需对称轴不在区间内。 即 ( m + \frac{1}{2} \leq -1 ) 或 ( m + \frac{1}{2} \geq 2 )。 解得 ( m \leq -\frac{3}{2} ) 或 ( m \geq \frac{3}{2} )。
解： (1) 总成本函数为 ( C(x) = 20000 + 100x )。 月利润 ( f(x) = R(x) - C(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2 - 20000 - 100x, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000 - 20000 - 100x, & x > 400 \end{cases} ) 即 ( f(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 300x - 20000, & 0 \leq x \leq 400 \ 60000 - 100x, & x > 400 \end{cases} ) (2) 当 ( 0 \leq x \leq 400 ) 时，( f(x) = -\frac{1}{2}(x-300)^2 + 25000 )。 当 ( x=300 ) 时，( f(x)_{\max} = 25000 )。 当 ( x > 400 ) 时，( f(x) = 60000 - 100x < 60000 - 40000 = 20000 < 25000 )。 故当月产量为300台时，月利润最大,最大利润为25000元。
解： (1) 令 ( x = y = 0 )，得 ( f(0) + f(0) = f(0) )，( f(0) = 0 )。 令 ( y = -x )，得 ( f(x) + f(-x) = f(0) = 0 )，( f(-x) = -f(x) )。 故 ( f(x) ) 为奇函数。 (2) ( f(x) ) 在 ( (-1, 1) ) 上为减函数。 证明：任取 ( -1 < x_1 < x_2 < 1 )，则 ( f(x_1) - f(x_2) = f(x_1) + f(-x_2) = f(\frac{x_1 - x_2}{1