（满分：150分 时间：120分钟）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {2, 3, 4} )，则 ( ( \complement_U A ) \cap B = ) （ ） A. ( {2} ) \quad B. ( {2, 4} ) \quad C. ( {2, 3, 4} ) \quad D. ( {3, 4} )
命题“ ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 > 0 ) ”的否定是 （ ） A. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 ) \quad B. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 ) C. ( \exists x \notin \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 ) \quad D. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 < 0 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是 （ ） A. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad B. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad C. ( [2, +\infty) ) \quad D. ( (2, +\infty) )
已知 ( a > b > 0 )，则下列不等式一定成立的是 （ ） A. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} ) \quad B. ( a^2 < b^2 ) \quad C. ( \sqrt{a} > \sqrt{b} ) \quad D. ( |a| < |b| )
已知函数 ( f(x) = x^2 - 2x - 3 )，则函数在区间 ([-1, 2]) 上的最小值为 （ ） A. (-4) \quad B. (-3) \quad C. (0) \quad D. (1)
已知 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则 ( f(-1) = ) （ ） A. (-3) \quad B. (-1) \quad C. (1) \quad D. (3)
已知 ( a = 2^{0.3} )，( b = 0.3^{0.2} )，( c = \log_{0.2} 0.3 )，则三者的大小关系为 （ ） A. ( c < b < a ) \quad B. ( b < a < c ) \quad C. ( a < b < c ) \quad D. ( b < c < a )
函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在的大致区间是 （ ） A. ( (0, 1) ) \quad B. ( (1, 2) ) \quad C. ( (2, 3) ) \quad D. ( (3, 4) )
若关于 ( x ) 的不等式 ( x^2 - ax + 1 \leq 0 ) 的解集为空集，则实数 ( a ) 的取值范围是 （ ） A. ( (-2, 2) ) \quad B. ( [-2, 2] ) \quad C. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) ) \quad D. ( (-\infty, -2] \cup [2, +\infty) )
为了得到函数 ( y = \log_2 (2x - 1) ) 的图像，只需将函数 ( y = \log_2 x ) 的图像 （ ） A. 向左平移 ( \frac{1}{2} ) 个单位 \quad B. 向右平移 ( \frac{1}{2} ) 个单位 C. 向左平移 ( 1 ) 个单位 \quad D. 向右平移 ( 1 ) 个单位
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} (a-2)x + 1, & x \leq 1 \ a^x, & x > 1 \end{cases} ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的减函数，则实数 ( a ) 的取值范围是 （ ） A. ( (0, 1) ) \quad B. ( (0, \frac{1}{2}] ) \quad C. ( [\frac{1}{2}, 1) ) \quad D. ( (0, 2) )
设函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )，且满足 ( f(x+2) = -f(x) )，当 ( x \in [0, 2] ) 时，( f(x) = 2x - x^2 )，则 ( f(2025) = ) （ ） A. (-1) \quad B. (0) \quad C. (1) \quad D. (2025)
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = )__。
已知 ( 2^a = 5^b = 10 )，则 ( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = )__。
已知函数 ( f(x) = ax^2 + bx + 3a + b ) 是定义在 ([a-1, 2a]) 上的偶函数，则 ( a + b = )__。
已知函数 ( f(x) = |\log_2 x| )，若 ( 0 < a < b < c )，且 ( f(a) > f(b) > f(c) )，则 ( \frac{c}{a} ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）计算： (1) ( (2\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}} - (-0.9)^0 - (\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}} )； (2) ( \log_3 \sqrt{27} + \lg 25 + \lg 4 + 7^{\log_7 2} )。
（12分）已知集合 ( A = {x | \frac{x-4}{x+2} \leq 0} )，( B = {x | x^2 - 4x + 3 \geq 0} )。 (1) 求 ( A \cap B )，( \complement_R (A \cup B) )； (2) 若集合 ( C = {x | m-1 \leq x \leq 2m+1} )，且 ( C \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x-1}{x+1} )。 (1) 判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； (2) 求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。
（12分）已知函数 ( f(x) = \log_a (1 - x) + \log_a (x + 3) ) （( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）。 (1) 求函数 ( f(x) ) 的定义域； (2) 若函数 ( f(x) ) 的最小值为 (-2)，求实数 ( a ) 的值。
（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： [ R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000, & x > 400 \end{cases} ] ( x ) 是仪器的月产量（单位：台）。 (1) 将月利润 ( f(x) ) 表示为月产量 ( x ) 的函数； (2) 当月产量为何值时，公司所获月利润最大？最大月利润为多少元？
（12分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) = \frac{b - 2^x}{2^{x+1} + a} ) 是奇函数。 (1) 求实数 ( a, b ) 的值； (2) 判断并证明 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的单调性； (3) 若对任意的 ( t \in \mathbb{R} )，不等式 ( f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - k) < 0 ) 恒成立，求实数 ( k ) 的取值范围。
2025年高中数学必修一B版综合测试卷（参考答案）
选择题
- B解析：( \complement_U A = {2,4,5} )，( ( \complement_U A ) \cap B = {2,4} )。
- B解析：全称命题的否定是特称命题,并对结论进行否定。
- A解析：由 ( x-2 \ge 0 ) 且 ( x-3 \ne 0 ) 得 ( x \ge 2 ) 且 ( x \ne 3 )。
- C解析：由 ( a > b > 0 ) 可得 ( \sqrt{a} > \sqrt{b} > 0 )，A、B、D选项均错误。
- A解析：( f(x) = (x-1)^2 - 4 )，对称轴 ( x=1 \in [-1,2] )，故最小值为 ( f(1) = -4 )。
- B解析：( f(1) = 1 - 2 = -1 )，由奇函数性质 ( f(-1) = -f(1) = 1 )。
- A解析：( a=2^{0.3}>1 )，( 0 < b=0.3^{0.2}<1 )，( c=\log_{0.2}0.3 < 0 )，故 ( c < b < a )。
- B解析：( f(1)=\ln2-2<0 )，( f(2)=\ln3-1>0 ),由零点存在定理可知。
- A解析：不等式解集为空集等价于 ( \Delta = a^2 - 4 < 0 )，解得 ( -2 < a < 2 )。
- B解析：( y = \log_2 (2x-1) = \log_2 [2(x-\frac{1}{2})] )，由 ( y=\log_2 x ) 向右平移 ( \frac{1}{2} ) 个单位，再纵坐标不变，横坐标变为原来的 ( \frac{1}{2} ) 得到，但选项中只考虑平移，等价于 ( y=\log_2 x ) 上点 ( (x, y) ) 变为 ( (x+\frac{1}{2}, y) ) 得到 ( y=\log_2 (x-\frac{1}{2}) )，与目标函数不同，正确变换应为：( y=\log_2 x ) → 横坐标变为原来的 ( \frac{1}{2} ) → ( y=\log_2 2x ) → 向右平移 ( \frac{1}{2} ) 个单位 → ( y=\log_2 [2(x-\frac{1}{2})] = \log_2 (2x-1) )，故仅从提供的平移选项看，第一步伸缩变换无法体现，但常见理解是“向右平移 ( \frac{1}{2} ) 个单位”对应 ( y=\log_2 (x-\frac{1}{2}) )，这与目标不符，需先伸缩后平移，但若只考虑平移，没有正确选项。标准答案常设为B，是基于将 ( y=\log_2 x ) 向右平移 ( \frac{1}{2} ) 个单位得到 ( y=\log_2 (x-\frac{1}{2}) )，这与 ( y=\log_2 (2x-1) ) 图像不同。此处答案存疑，建议题目改为“为了得到 ( y=\log_2 (2x) ) 的图像...”则选B。按常见题库答案，本题仍选B。（阅卷建议：本题有歧义，可考虑给全体得分或修改题干）
- C解析：需满足：① ( a-2 < 0 )；② ( 0 < a < 1 )；③ ( (a-2)\times1+1 \ge a^1 )，由①得 ( a<2 )，由②得 ( 0<a<1 )，由③得 ( a-1 \ge a )，即 ( -1 \ge 0 )，矛盾，故需重新检查：分段点 ( x=1 ) 处，左段右端值 ( f(1)=a-1 )，右段左端值 ( f(1^+)=a )，减函数要求 ( a-1 \ge a )，即 ( -1 \ge 0 )，不可能，故不存在这样的 ( a ) 使函数在R上为减函数？但选项有答案，常见解法：由 ( a-2<0 ) 且 ( 0<a<1 ) 且 ( (a-2)\cdot1+1 \ge a^1 ) 得 ( a \le \frac{1}{2} )，结合 ( 0<a<1 ) 得 ( 0<a\le\frac{1}{2} )，但此时检查 ( a=0.5 )，左段 ( f(x)=-1.5x+1 ) 减，右段 ( 0.5^x ) 减，且 ( f(1)=-0.5 \ge f(1^+)=0.5 )？不成立（-0.5 < 0.5），减函数”要求应是 ( f(1) \ge f(1^+) )，即 ( a-1 \ge a )，确实不成立，因此题目可能应为“( f(x) = \begin{cases} (a-2)x + 1, & x < 1 \ a^x, & x \ge 1 \end{cases} )”，这样在 ( x=1 ) 处，左极限 ( a-1 ) 应大于等于右值 ( a )，同样矛盾，除非常数项调整。标准答案常为 ( [\frac{1}{2}, 1) )，由 ( a-2<0 )， ( 0<a<1 )，且 ( a-1 \le a )（自动成立），再加上左段减、右段减，只需 ( a>0 ) 且 ( a<2 ) 且 ( 0<a<1 ) 得 ( 0<a<1 )，再补充端点处条件 ( (a-2)\cdot1+1 \le a^1 )？若要求 ( f(x) ) 在R上单调递减，则 ( x=1 ) 处应有 ( (a-2)\cdot1+1 \ge a^1 )，解得 ( a \le \frac{1}{2} )，综合得 ( 0<a\le\frac{1}{2} )，但此时 ( f(1)=a-1 \le -0.5 )，( f(1^+)=a \le 0.5 )，确实有 ( f(1) \le f(1^+) )？( a=0.5 ) 时，( f(1)=-0.5 )，( f(1^+)=0.5 )，( f(1) < f(1^+) )，这不影响递减性，因为递减性要求对于任意 ( x_1 < x_2 ) 有 ( f(x_1) \ge f(x_2) )，取 ( x_1=0.9 )，( x_2=1 )，( f(0.9)=(a-2)\times0.9+1 = -1.5\times0.9+1 = -0.35 )，( f(1)=a-1=-0.5 )，有 ( -0.35 \ge -0.5 ) 成立，取 ( x_1=1 )，( x_2=1.1 )，( f(1)=-0.5 )，( f(1.1)=0.5^{1.1} \approx 0.4665 )，有 ( -0.5 \ge 0.4665 ) 不成立！故在 ( x=1 ) 处递减性被破坏，必须要求 ( f(1) \ge f(1^+) )，即 ( a-1 \ge a )，不可能，所以题目可能设计为 ( f(x) = \begin{cases} (a-2)x + 3, & x \le 1 \ a^x, & x > 1 \end{cases} ) 或其他。**鉴于常见答案，本题选C ( [\frac{1}{2}, 1