（考试时间：120分钟 总分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x | -2 < x < 3 } )，( B = { x | x \ge 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x | 0 \le x < 3 } ) B. ( { x | x > -2 } ) C. ( { x | -2 < x \le 0 } ) D. ( { x | x \ge 3 } )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 > 0 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \le 0 ) B. ( \exists x \le 0, \, x^2 + 1 \le 0 ) C. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \le 0 ) D. ( \forall x \le 0, \, x^2 + 1 > 0 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ） A. ([2, 3) \cup (3, +\infty)) B. ((2, +\infty)) C. ([2, +\infty)) D. ((3, +\infty))
已知 ( a, b, c \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( a^2 > b^2 ) B. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) C. ( a|c| > b|c| ) D. ( a + c > b + c )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \le 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
设 ( a = 2^{0.3} )，( b = 0.3^{2} )，( c = \log_{0.3} 2 )，则 ( a, b, c ) 的大小关系为（ ） A. ( c < b < a ) B. ( c < a < b ) C. ( b < a < c ) D. ( b < c < a )
函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在的大致区间是（ ） A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4)
已知函数 ( f(x) = ax^3 + bx + 5 )，且 ( f(3) = 7 )，则 ( f(-3) = )（ ） A. -7 B. 7 C. 3 D. 5
若正实数 ( x, y ) 满足 ( x + 2y = 1 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} ) 的最小值为（ ） A. ( 4 + 4\sqrt{2} ) B. ( 8 ) C. ( 4 + 2\sqrt{2} ) D. ( 9 )
函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} \cdot \cos x ) 的图象大致为（ ） A. B. C. D. （此处原为图像选项,略）
已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数 ( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上单调递减，且 ( f(2) = 0 )，则不等式 ( x f(x) > 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-\infty, -2) \cup (0, 2) ) B. ( (-2, 0) \cup (2, +\infty) ) C. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) ) D. ( (-2, 0) \cup (0, 2) )
设函数 ( f(x) = |\lg x| )，若 ( 0 < a < b )，且 ( f(a) = f(b) )，则 ( a + 2b ) 的取值范围是（ ） A. ( (2\sqrt{2}, +\infty) ) B. ( [2\sqrt{2}, +\infty) ) C. ( (3, +\infty) ) D. ( [3, +\infty) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{1}{3}} + (\log_3 2) \cdot (\log_2 9) = )__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，且在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增，则 ( f(2) = )__。
已知函数 ( f(x) = \log_a (2x - 1) + 2 ) (( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )) 的图象恒过定点 ( P )，则点 ( P ) 的坐标为__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2ax, & x \le 1 \ (2a-1)x + 3a - 4, & x > 1 \end{cases} ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递减，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x | 3 \le x < 7 } )，( B = { x | 4 < x \le 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )，( (C_U A) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x | x > a } )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 5 ) (( a > 1 )) 在区间 ( [1, 3] ) 上有最大值 ( 10 )，最小值 ( g(a) )。 （1）求函数 ( g(a) ) 的表达式； （2）求函数 ( h(a) = g(a) - 2a ) 的最小值。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{b - 2^x}{2^{x+1} + a} ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数。 （1）求实数 ( a, b ) 的值； （2）判断并用定义证明函数 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的单调性； （3）解关于 ( x ) 的不等式：( f(t^2 - 2t) + f(2t^2 - 1) < 0 )。
（12分）某公司计划投资 ( A, B ) 两种金融产品，根据市场预测，( A ) 产品的利润 ( y_1 )（万元）与投资金额 ( x )（万元）满足函数关系：( y_1 = 2\sqrt{x} )，( B ) 产品的利润 ( y_2 )（万元）与投资金额 ( x )（万元）满足函数关系：( y_2 = \frac{10x}{x+25} )。 （1）若将10万元资金全部投入 ( A ) 产品，求所获利润； （2）该公司现有20万元资金，如何分配投资金额，能使所获总利润最大？最大总利润是多少？
（12分）已知函数 ( f(x) = \lg(10^x + 1) - \frac{1}{2}x )。 （1）证明：( f(x) ) 是偶函数； （2）设函数 ( g(x) = \lg(10^x + 1) + \frac{1}{2}x )，利用（1）的结论，比较 ( f(2) + f(4) + \cdots + f(2024) ) 与 ( \frac{1}{2} [g(2) + g(4) + \cdots + g(2024)] ) 的大小。
（12分）已知函数 ( f(x) = \log_4 (4^x + 1) + kx ) (( k \in \mathbb{R} )) 是偶函数。 （1）求 ( k ) 的值； （2）若方程 ( f(x) = m ) 有实数解，求实数 ( m ) 的取值范围； （3）设函数 ( h(x) = \log_4 (a \cdot 2^x - \frac{4}{3}a) )，若函数 ( f(x) ) 与 ( h(x) ) 的图象有且只有一个公共点，求实数 ( a ) 的取值范围。
2025年高一数学必修一综合测试卷参考答案
选择题
A 2. C 3. A 4. D 5. C 6. A 7. B 8. C 9. D 10. （略） 11. A 12. C
填空题13. ( 3 + 2 = 5 ) （或直接写 5） 14. ( 16 ) （由 ( m^2-3m+3=1 ) 且 ( m+1 ) 为偶数，解得 ( m=1 )，( f(x)=x^2 )，故 ( f(2)=4 )） 15. ( (1, 2) ) （令 ( 2x-1=1 )，即 ( x=1 )，得 ( f(1)=2 )） 16. ( [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] ) （需满足：① ( -\frac{2a}{-2} = a \le 1 )；② ( 2a-1 < 0 )；③ ( -1+2a \ge (2a-1)+3a-4 ),联立解得）
解答题17. (1) ( A \cup B = { x | 3 \le x \le 10 } )；( C_U A = { x | x < 3 \text{ 或 } x \ge 7 } )，( (C_U A) \cap B = { x | 7 \le x \le 10 } )。 (2) 由 ( B \cap C = \varnothing )，且 ( B = { x | 4 < x \le 10 } )，得 ( a \ge 10 )。
(1) ( f(x) = (x-a)^2 + 5 - a^2 )，对称轴 ( x = a > 1 )。 当 ( 1 < a \le 3 ) 时，( g(a) = f(a) = 5 - a^2 )； 当 ( a > 3 ) 时，( g(a) = f(3) = 14 - 6a )。 故 ( g(a) = \begin{cases} 5 - a^2, & 1 < a \le 3 \ 14 - 6a, & a > 3 \end{cases} )。 (2) 当 ( 1 < a \le 3 ) 时，( h(a) = -a^2 - 2a + 5 )，在 ( (1, 3] ) 上递减，最小值为 ( h(3) = -10 )； 当 ( a > 3 ) 时，( h(a) = 14 - 8a < -10 )。 综上，( h(a)_{\min} = -10 )。
(1) 由 ( f(0)=0 ) 得 ( b=1 )，由 ( f(-1) = -f(1) ) 代入解得 ( a=2 )。 (2) ( f(x) = \frac{1 - 2^x}{2^{x+1} + 2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2^x - 1}{2^x + 1} )，在 ( \mathbb{R} ) 上单调递减（证明略）。 (3) 由奇函数及单调性，不等式化为 ( f(t^2 - 2t) < f(1 - 2t^2) )，故 ( t^2 - 2t > 1 - 2t^2 )，即 ( 3t^2 - 2t - 1 > 0 )，解得 ( t < -\frac{1}{3} ) 或 ( t > 1 )。
(1) 当 ( x=10 ) 时，( y1 = 2\sqrt{10} \approx 6.324 ) 万元。 (2) 设投入 ( A ) 产品 ( x ) 万元，则投入 ( B ) 产品 ( (20-x) ) 万元，总利润 ( L(x) = 2\sqrt{x} + \frac{10(20-x)}{45 - x} )，( 0 \le x \le 20 )。 求导或利用函数单调性分析（过程略），可得当 ( x=4 ) 时，( L(x){\max} = 4 + 8 = 12 ) 万元。 故投入 ( A ) 产品 4 万元，( B ) 产品 16 万元时，总利润最大，为 12 万元。
(1) ( f(-x) = \lg(10^{-x}+1) + \frac{1}{2}x = \lg(\frac{1+10^x}{10^x}) + \frac{1}{2}x = \lg(10^x+1) - x + \frac{1}{2}x = f(x) )，得证。 (2) 注意到 ( f(x) + \frac{1}{2}g(x) = \lg(10^x+1) )，计算比较（过程略），可得 ( f(2)+f(4)+\cdots+f(2024) < \frac{1}{2}[g(2)+g(4)+\cdots+g(2024)] )。
(1) 由 ( f(-x) = f(x) ) 恒成立，解得 ( k = -\frac{1}{2} )。 (2) ( f(x) = \log_4(4^x+1) - \frac{1}{2}x = \log_4 \frac{4^x+1}{2^x} = \log_4 (2^x + 2^{-x}) \ge \log_4 2 = \frac{1}{2} )，故 ( m \ge \frac{1}{2} )。 (3) 联立方程，转化为关于 ( 2^x ) 的方程 ( (a-1)(2^x)^2 - \frac{4}{3}a \cdot 2^x - 1 = 0 ) 在 ( (0, +\infty) ) 有唯一正解，讨论 ( a=1 )，( a \neq 1 ) 时判别式及根的情况（过程略），解得 ( a > 1 ) 或 ( a = -3 )。