数学（基于2021年高中数学新教材）
注意事项：
- 本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
- 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
- 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
- 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0 } )，( B = { x \mid \ln x < 1 } )，则 ( A \cap B = )
A. ( (0, 2] )
B. ( (0, e) )
C. ( [1, 2] )
D. ( [1, e) )复数 ( z = \frac{1 + i}{2 - i} ) 的共轭复数在复平面内对应的点位于
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp (\vec{a} - \vec{b}) )，则实数 ( m = )
A. ( 3 )
B. ( \frac{1}{3} )
C. ( -\frac{1}{3} )
D. ( -3 )函数 ( f(x) = \frac{\sin x}{e^x + e^{-x}} ) 的部分图象大致为
A. （图象略，考查奇偶性与渐近线）
B. （图象略）
C. （图象略）
D. （图象略）在 ( (x - \frac{2}{x})^6 ) 的展开式中，常数项为
A. ( 160 )
B. ( -160 )
C. ( 60 )
D. ( -60 )已知圆锥的底面半径为 ( \sqrt{2} )，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为
A. ( 2\pi )
B. ( 4\pi )
C. ( 6\pi )
D. ( 8\pi )已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的最小正周期为 ( \pi )，且图象关于直线 ( x = \frac{\pi}{6} ) 对称，则 ( \varphi = )
A. ( \frac{\pi}{6} )
B. ( \frac{\pi}{3} )
C. ( -\frac{\pi}{6} )
D. ( -\frac{\pi}{3} )已知 ( a = \log_3 2 )，( b = \log_6 4 )，( c = \log_9 8 )，则
A. ( a < b < c )
B. ( b < a < c )
C. ( c < a < b )
D. ( b < c < a )
多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列统计量中，能用于描述一组数据离散程度的是
A. 平均数
B. 方差
C. 百分位数
D. 标准差已知直线 ( l: ax + by + c = 0 ) 与圆 ( O: x^2 + y^2 = 4 ) 交于 ( A, B ) 两点，则下列说法正确的是
A. 若 ( |AB| = 2\sqrt{3} )，则圆心 ( O ) 到直线 ( l ) 的距离为 ( 1 )
B. 若 ( c = 2\sqrt{a^2 + b^2} )，则 ( |AB| ) 的最小值为 ( 2 )
C. 若 ( \triangle AOB ) 为等边三角形，则 ( |AB| = 2\sqrt{3} )
D. 若 ( a + b = 1 )，则直线 ( l ) 恒过定点 ( (1,1) )如图，在棱长为 ( 2 ) 的正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，( M, N ) 分别为棱 ( BC, CC_1 ) 的中点，则
A. 直线 ( A_1M ) 与 ( DD_1 ) 所成角为 ( 90^\circ )
B. 平面 ( A_1MN ) 截正方体所得截面为五边形
C. 三棱锥 ( A_1-AMN ) 的体积为 ( \frac{2}{3} )
D. 点 ( B_1 ) 到平面 ( A_1MN ) 的距离为 ( \frac{4}{3} )
填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} \log_2 x, & x > 0 \ 2^x, & x \leq 0 \end{cases} )，则 ( f(f(-1)) = )__．
已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0) ) 的渐近线与圆 ( (x-2)^2 + y^2 = 1 ) 相切，则该双曲线的离心率为__．
已知 ( \triangle ABC ) 中，( \sin A = \frac{3}{5} )，( \cos B = \frac{5}{13} )，则 ( \sin C = )__．
解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）
已知数列 ( {a_n} ) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = \begin{cases} a_n + 2, & n \text{为奇数} \ 2a_n, & n \text{为偶数} \end{cases} )．
（1）求 ( a_2, a_3, a_4 )；
（2）设 ( bn = a{2n-1} )，求数列 ( {b_n} ) 的前 ( n ) 项和 ( S_n )．（15分）
如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )，点 ( E, F ) 分别为 ( PB, PD ) 的中点．
（1）证明：( EF \parallel ) 平面 ( ABCD )；
（2）求平面 ( AEF ) 与平面 ( PCD ) 所成锐二面角的余弦值．（15分）
已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 )．
（1）讨论 ( f(x) ) 的单调性；
（2）若 ( f(x) \geq 0 ) 对 ( x \in [0, +\infty) ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围．（17分）
某校举行篮球比赛，甲、乙、丙三人进行传球训练，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人中的任何一人．已知球开始时在甲手中．
（1）求经过 ( 3 ) 次传球后，球在甲手中的概率；
（2）设经过 ( n ) 次传球后，球在甲手中的概率为 ( p_n )，求数列 ( {p_n} ) 的通项公式；
（3）记 ( S_n = p_1 + p_2 + \cdots + p_n )，证明：( S_n < \frac{3}{2} )．（17分）
已知抛物线 ( C: y^2 = 2px (p>0) ) 的焦点为 ( F )，点 ( M(2, m) ) 在 ( C ) 上，且 ( |MF| = 3 )．
（1）求抛物线 ( C ) 的方程；
（2）设直线 ( l: y = kx + b ) 与 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，若 ( \overrightarrow{AF} \cdot \overrightarrow{BF} = -4 )，证明：直线 ( l ) 过定点．
参考答案
单项选择题
- D
- D
- A
- A
- B
- B
- A
- C
多项选择题
9. BD
10. AC
11. ABD
填空题
12. ( 0 )
13. ( 2 )
14. ( \frac{63}{65} )
解答题
15. （1）( a_2 = 3, a_3 = 5, a_4 = 10 )
（2）( b_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 2 )，( S_n = 3(2^n - 1) - 2n )
16. （1）略（中位线性质）
（2）( \frac{\sqrt{6}}{3} )
17. （1）当 ( a \leq 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增；当 ( a > 0 ) 时，在 ( (-\infty, \ln a) ) 单调递减，在 ( (\ln a, +\infty) ) 单调递增
（2）( a \leq 2 )
18. （1）( \frac{3}{8} )
（2）( p_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} )
（3）略（求和后放缩）
19. （1）( y^2 = 4x )
（2）定点为 ( (1, -2) )
试卷说明：
本试卷严格依据《2021年高中数学新教材》内容设计，涵盖预备知识、函数、几何与代数、概率与统计等主题，注重数学建模、逻辑推理与数学运算能力的考查,体现了新课程改革的方向与要求。