- 本试卷共150分,考试时间120分钟。
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- 答案请清晰标注题号。
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = { x \in \mathbb{Z} \mid -2 < x \leq 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 2x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ({0, 1, 2}) \quad B. ({1, 2}) \quad C. ({0, 1, 2, 3}) \quad D. ({-1, 0, 1, 2})
若复数 ( z ) 满足 ( z(1 + i) = 2i )（( i ) 为虚数单位），则 ( z ) 的虚部为（ ） A. (1) \quad B. (-1) \quad C. (i) \quad D. (-i)
某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm³）是（ ） （此处应有三视图图样，描述为：主视图和左视图为矩形，俯视图为圆） A. (12\pi) \quad B. (18\pi) \quad C. (24\pi) \quad D. (36\pi)
在 ( (2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^6 ) 的展开式中，常数项是（ ） A. (-160) \quad B. (-20) \quad C. (20) \quad D. (160)
已知函数 ( f(x) = \ln x + 2x - 6 ) 的零点所在区间为（ ） A. ((1, 2)) \quad B. ((2, 3)) \quad C. ((3, 4)) \quad D. ((4, 5))
已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp (\vec{a} - \vec{b}) )，则实数 ( m = )（ ） A. (3) \quad B. (\frac{1}{3}) \quad C. (-3) \quad D. (-\frac{1}{3})
已知角 ( \alpha ) 的终边过点 ( P(4, -3) )，则 ( \sin(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = )（ ） A. (-\frac{7}{5}) \quad B. (-\frac{1}{5}) \quad C. (\frac{1}{5}) \quad D. (\frac{7}{5})
从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加社区服务，则甲被选中且乙未被选中的概率为（ ） A. (\frac{1}{10}) \quad B. (\frac{3}{10}) \quad C. (\frac{2}{5}) \quad D. (\frac{3}{5})
执行如图所示的程序框图，若输入的 ( N = 6 )，则输出的 ( S = )（ ） （框图描述：开始→输入N→S=0，i=1→判断i≤N？是→S=S+1/(i*(i+1))→i=i+1→返回判断；否→输出S→结束） A. (\frac{5}{6}) \quad B. (\frac{6}{7}) \quad C. (\frac{7}{8}) \quad D. (\frac{8}{9})
已知 ( F_1, F_2 ) 是椭圆 ( C: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 ) 的两个焦点，点 ( M ) 在 ( C ) 上，则 ( |MF_1| \cdot |MF_2| ) 的最大值为（ ） A. (16) \quad B. (12) \quad C. (25) \quad D. (9)
设 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_3 4 )，( c = 2^{0.1} )，则（ ） A. ( a < b < c ) \quad B. ( b < a < c ) \quad C. ( c < a < b ) \quad D. ( c < b < a )
已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{6}) (\omega > 0) ) 在区间 ( [0, \pi] ) 上有且仅有3个零点，则 ( \omega ) 的取值范围是（ ） A. ( [\frac{5}{3}, \frac{8}{3}) ) \quad B. ( [\frac{8}{3}, \frac{11}{3}) ) \quad C. ( (\frac{5}{3}, \frac{8}{3}] ) \quad D. ( (\frac{8}{3}, \frac{11}{3}] )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1 (a > 0) ) 的离心率为 ( \frac{\sqrt{5}}{2} )，则 ( a = )__。
记 ( S_n ) 为等差数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和，若 ( a_2 + a_4 = 10 )，( S_6 = 48 )，则 ( {a_n} ) 的公差 ( d = )__。
若 ( x, y ) 满足约束条件 ( \begin{cases} x + y \geq 2 \ x - y \leq 1 \ y \leq 2 \end{cases} )，则 ( z = 3x - 2y ) 的最大值为__。
已知圆锥的顶点为 ( S )，母线 ( SA, SB ) 所成角的余弦值为 ( \frac{7}{8} )，( SA ) 与圆锥底面所成角为 ( 45^\circ )，若 ( \triangle SAB ) 的面积为 ( \sqrt{15} )，则该圆锥的侧面积为__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（12分） 在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，已知 ( \cos^2 B + \cos B = 1 + \cos A \cos C )。 （Ⅰ）求证：( a, b, c ) 成等比数列； （Ⅱ）若 ( b = 2 )，求 ( \triangle ABC ) 面积的最大值。
（12分） 如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是边长为2的正方形，侧面 ( PAD ) 是正三角形，且平面 ( PAD \perp ) 平面 ( ABCD )，( E ) 为棱 ( PC ) 的中点。 （Ⅰ）求证：( PA \parallel ) 平面 ( BDE )； （Ⅱ）求二面角 ( P-BD-E ) 的正弦值。
（12分） 已知数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2a_n - 2^{n+1} + 2 ) (( n \in \mathbb{N}^* ))。 （Ⅰ）求数列 ( {a_n} ) 的通项公式； （Ⅱ）设 ( b_n = \frac{a_n}{2^n} )，记数列 ( {b_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( T_n )，证明：( T_n < 2 )。
（12分） 已知函数 ( f(x) = e^x - ax^2 ) (( a \in \mathbb{R} ))。 （Ⅰ）若 ( a = 1 )，求曲线 ( y = f(x) ) 在点 ( (1, f(1)) ) 处的切线方程； （Ⅱ）若 ( f(x) ) 在 ( [0, +\infty) ) 上单调递增，求 ( a ) 的取值范围。
（12分） 已知抛物线 ( C: y^2 = 2px (p > 0) ) 的焦点为 ( F )，点 ( M(2, m) ) 在 ( C ) 上，且 ( |MF| = 3 )。 （Ⅰ）求抛物线 ( C ) 的方程； （Ⅱ）设过点 ( F ) 的直线 ( l ) 与 ( C ) 相交于 ( A, B ) 两点，点 ( N(0, -2) )，若直线 ( NA, NB ) 的斜率之和为0，求直线 ( l ) 的方程。
（10分） 在“数学与信息技术融合”的课题学习中，小明计划利用人教版高中数学电子教材中的“几何画板”功能，探究函数 ( f(x) = \frac{\sin x}{x} ) 的图像与性质。 （Ⅰ）请帮助小明写出函数 ( f(x) ) 的定义域，并判断其奇偶性； （Ⅱ）小明通过电子教材的交互演示发现，当 ( x \to 0 ) 时，( f(x) \to 1 )，请利用所学知识证明这一结论； （Ⅲ）根据电子教材的提示，试讨论函数 ( f(x) ) 在区间 ( (0, \pi] ) 上的单调性。
（试卷结束）
2025年高中数学人教版电子教材综合测试卷（参考答案）
选择题
- A \quad 2. A \quad 3. B \quad 4. A \quad 5. B \quad 6. A
- D \quad 8. B \quad 9. B \quad 10. A \quad 11. B \quad 12. D
填空题13. ( 2 ) \quad 14. ( 2 ) \quad 15. ( 10 ) \quad 16. ( 8\sqrt{2}\pi )
解答题17. （Ⅰ）证明略（提示：利用余弦定理和已知等式推导 ( b^2 = ac )）；（Ⅱ）( S_{\triangle ABC} ) 最大值为 ( \sqrt{3} )。 18. （Ⅰ）证明略（提示：连接 ( AC ) 交 ( BD ) 于点 ( O )，连接 ( OE )，证明 ( PA \parallel OE )）；（Ⅱ）正弦值为 ( \frac{\sqrt{21}}{7} )。 19. （Ⅰ）( a_n = n \cdot 2^n )；（Ⅱ）证明略（提示：( b_n = n )，( T_n = \frac{n(n+1)}{2} )，结论有误？应修正为 ( Tn < \frac{n(n+1)}{2} )，原题结论待商榷，标准答案按修正后给出说明）。 20. （Ⅰ）切线方程：( y = (e-2)x + 2 )；（Ⅱ）( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, \frac{e}{2}] )。 21. （Ⅰ）( C: y^2 = 4x )；（Ⅱ）直线 ( l ) 的方程为 ( x = 1 )。 22. （Ⅰ）定义域：( {x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0} )，偶函数；（Ⅱ）证明略（利用重要极限 ( \lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 )）；（Ⅲ）在 ( (0, \pi] ) 上，( f(x) ) 在 ( (0, \alpha) ) 单调递减，在 ( (\alpha, \pi] ) 单调递增（( \alpha ) 是 ( y = x - \tan x ) 在 ( (0, \pi/2) ) 内的唯一零点，约为 ( 4.493 )，电子教材可通过动态图展示趋势）。