中职高二数学试卷（2025）

120分钟 满分：150分

选择题（每题5分，共60分）

1. 已知集合 ( A = { x | -2 < x \leq 3 } )，( B = { x | x^2 - 4x + 3 \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ( (1, 3] )
   B. ( [-2, 3] )
   C. ( [1, 3] )
   D. ( (1, 3) )

2. 函数 ( f(x) = \sqrt{2x - 1} + \frac{1}{x - 3} ) 的定义域是（ ）
   A. ( [\frac{1}{2}, 3) \cup (3, +\infty) )
   B. ( (\frac{1}{2}, 3) \cup (3, +\infty) )
   C. ( [\frac{1}{2}, +\infty) )
   D. ( (\frac{1}{2}, +\infty) )

3. 已知角 ( \alpha ) 终边上一点 ( P(-3, 4) )，则 ( \sin \alpha + \cos \alpha = )（ ）
   A. ( \frac{1}{5} )
   B. ( -\frac{1}{5} )
   C. ( \frac{7}{5} )
   D. ( -\frac{7}{5} )

4. 等差数列 ( { a_n } ) 中，( a_3 = 5 )，( a7 = 13 )，则 ( a{10} = )（ ）
   A. 18
   B. 19
   C. 20
   D. 21

5. 已知向量 ( \vec{a} = (2, -1) )，( \vec{b} = (1, 3) )，则 ( \vec{a} \cdot \vec{b} = )（ ）
   A. -1
   B. 1
   C. 5
   D. 7

6. 不等式 ( |2x - 1| < 3 ) 的解集是（ ）
   A. ( (-1, 2) )
   B. ( (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) )
   C. ( [-1, 2] )
   D. ( (-\infty, -1] \cup [2, +\infty) )

7. 已知直线 ( l_1: y = 2x + 1 ) 与 ( l_2: y = kx - 3 ) 平行，则 ( k = )（ ）
   A. 2
   B. -2
   C. ( \frac{1}{2} )
   D. ( -\frac{1}{2} )

8. 椭圆 ( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 ) 的焦点坐标是（ ）
   A. ( (\pm \sqrt{7}, 0) )
   B. ( (0, \pm \sqrt{7}) )
   C. ( (\pm 5, 0) )
   D. ( (0, \pm 5) )

9. 已知 ( \log_2 a = 3 )，( \log_2 b = 4 )，则 ( \log_2 (ab) = )（ ）
   A. 7
   B. 12
   C. 64
   D. 81

10. 从5名男生和3名女生中选3人参加活动,要求至少有1名女生，不同的选法有（ ）
    A. 56种
    B. 46种
    C. 36种
    D. 26种

11. 已知 ( \sin \theta = \frac{3}{5} )，且 ( \theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi) )，则 ( \tan \theta = )（ ）
    A. ( \frac{3}{4} )
    B. ( -\frac{3}{4} )
    C. ( \frac{4}{3} )
    D. ( -\frac{4}{3} )

12. 函数 ( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 ) 的极大值点是（ ）
    A. ( x = 0 )
    B. ( x = 1 )
    C. ( x = 2 )
    D. ( x = 3 )

填空题（每题5分，共30分）

13. 复数 ( z = 2 - 3i ) 的共轭复数是__。

14. 已知 ( \triangle ABC ) 中，( a = 3 )，( b = 4 )，( \sin C = \frac{1}{2} )，则 ( S_{\triangle ABC} = )__。

15. 二项式 ( (2x - 1)^5 ) 的展开式中 ( x^3 ) 的系数是__。

16. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )__。

17. 已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 )，则圆心坐标为__，半径为__。

18. 已知等比数列 ( { a_n } ) 中，( a_1 = 2 )，公比 ( q = 3 )，则 ( S_4 = )__。

解答题（共60分）

19. （12分）已知函数 ( f(x) = 2\sin x \cos x + \sqrt{3} \cos 2x )。
    （1）求 ( f(x) ) 的最小正周期；
    （2）求 ( f(x) ) 在区间 ( [0, \frac{\pi}{2}] ) 上的最大值和最小值。

20. （12分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是边长为2的正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = 2 )。
    （1）求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )；
    （2）求四棱锥 ( P-ABCD ) 的体积。

21. （12分）已知数列 ( { a_n } ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2n^2 - n )。
    （1）求数列 ( { a_n } ) 的通项公式；
    （2）设 ( b_n = \frac{1}{an a{n+1}} )，求数列 ( { b_n } ) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。

22. （12分）已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )。
    （1）求椭圆 ( C ) 的标准方程；
    （2）若直线 ( l: y = kx + 2 ) 与椭圆 ( C ) 相交于 ( A, B ) 两点，且 ( |AB| = \frac{4\sqrt{10}}{5} )，求 ( k ) 的值。

23. （12分）某工厂生产某种产品，每日固定成本为2000元，每生产一件产品，成本增加50元，已知每日的销售收入 ( R(x) )（元）与日产量 ( x )（件）满足：( R(x) = \begin{cases} 200x, & 0 \leq x \leq 50 \ 300x - x^2, & x > 50 \end{cases} )
    （1）写出每日利润 ( L(x) ) 关于日产量 ( x ) 的函数解析式；
    （2）为使每日利润最大，日产量应定为多少件？最大利润是多少元？

中职高二数学试卷（2025）参考答案

选择题

1. A
2. A
3. B
4. B
5. A
6. A
7. A
8. A
9. A
10. B
11. B
12. A

填空题

13. ( 2 + 3i )
14. ( 3 )
15. ( -40 )
16. ( 2 )
17. 圆心 ( (2, -3) )，半径 ( 5 )
18. ( 80 )

解答题

19. 解：
    ( f(x) = 2\sin x \cos x + \sqrt{3} \cos 2x = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) )
    （1）最小正周期 ( T = \frac{2\pi}{2} = \pi )
    （2）当 ( x \in [0, \frac{\pi}{2}] ) 时，( 2x + \frac{\pi}{3} \in [\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}] )
    当 ( 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} ) 即 ( x = \frac{\pi}{12} ) 时，( f(x){\text{max}} = 2 )
    当 ( 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} ) 即 ( x = \frac{\pi}{2} ) 时，( f(x){\text{min}} = -\sqrt{3} )

20. 解：
    （1）∵ ( ABCD ) 是正方形，∴ ( BD \perp AC )
    又 ( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( BD \subset ) 平面 ( ABCD )，∴ ( PA \perp BD )
    又 ( PA \cap AC = A )，∴ ( BD \perp ) 平面 ( PAC )
    （2）体积 ( V = \frac{1}{3} \times S_{\text{底}} \times h = \frac{1}{3} \times (2 \times 2) \times 2 = \frac{8}{3} )

21. 解：
    （1）当 ( n = 1 ) 时，( a_1 = S_1 = 1 )
    当 ( n \geq 2 ) 时，( a_n = Sn - S{n-1} = (2n^2 - n) - [2(n-1)^2 - (n-1)] = 4n - 3 )
    当 ( n = 1 ) 时也成立，∴ ( a_n = 4n - 3 )
    （2）( b_n = \frac{1}{(4n-3)(4n+1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right) )
    ( T_n = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{9} + \cdots + \frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n+1} \right) = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n+1} \right) = \frac{n}{4n+1} )

22. 解：
    （1）由 ( e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2} )，得 ( a = 2c )，又 ( a^2 = b^2 + c^2 )，得 ( b^2 = 3c^2 )
    椭圆过点 ( (1, \frac{3}{2}) )，代入得 ( \frac{1}{4c^2} + \frac{9}{4 \times 3c^2} = 1 )，解得 ( c^2 = 1 )
    故 ( a^2 = 4 )，( b^2 = 3 )，椭圆方程为 ( \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 )
    （2）联立 ( \begin{cases} y = kx + 2 \ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1 \end{cases} ) 得 ( (3 + 4k^2)x^2 + 16kx + 4 = 0 )
    设 ( A(x_1, y_1) )，( B(x_2, y_2) )，则 ( x_1 + x_2 = -\frac{16k}{3+4k^2} )，( x_1 x_2 = \frac{4}{3+4k^2} )
    ( |AB| = \sqrt{1+k^2} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = \frac{4\sqrt{10}}{5} )
    代入化简得 ( 16k^4 - 8k^2 - 3 = 0 )，解得 ( k^2 = \frac{3}{4} ) 或 ( k^2 = -\frac{1}{4} )（舍）
    故 ( k = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} )

23. 解：
    （1）每日成本函数 ( C(x) = 2000 + 50x )
    当 ( 0 \leq x \leq 50 ) 时，( L(x) = R(x) - C(x) = 200x - (2000 + 50x) = 150x - 2000 )
    当 ( x > 50 ) 时，( L(x) = (300x - x^2) - (2000 + 50x) = -x^2 + 250x - 2000 )
    即 ( L(x) = \begin{cases} 150x - 2000, & 0 \leq x \leq 50 \ -x^2 + 250x - 2000, & x > 50 \end{cases} )
    （2）当 ( 0 \leq x \leq 50 ) 时，( L(x) ) 单调递增，最大值为 ( L(50) = 5500 ) 元
    当 ( x > 50 ) 时，( L(x) = -(x - 125)^2 + 13625 )，当 ( x = 125 ) 时取最大值 13625 元
    比较得，当日产量定为 125 件时，每日利润最大，最大利润为 13625 元。