2025年高中数学课本综合测试卷（含答案）

选择题（每题5分，共40分）

1. 已知集合 ( A = { x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 3x + 2 \leq 0 } )，则 ( A = )（ ）
   A. ( [1, 2] )
   B. ( (-\infty, 1] \cup [2, +\infty) )
   C. ( {1, 2} )
   D. ( (1, 2) )

2. 若复数 ( z = \frac{1 + i}{1 - i} )，则 ( z ) 的虚部为（ ）
   A. 1
   B. 0
   C. -1
   D. ( i )

3. 函数 ( f(x) = \ln(x-1) + \sqrt{4-x} ) 的定义域为（ ）
   A. ( (1, 4] )
   B. ( [1, 4] )
   C. ( (1, 4) )
   D. ( [1, 4) )

4. 在等差数列 ({ a_n }) 中，( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( a_5 = )（ ）
   A. 5
   B. 6
   C. 8
   D. 10

5. 已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (x, -1) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则 ( x = )（ ）
   A. 2
   B. -2
   C. ( \frac{1}{2} )
   D. ( -\frac{1}{2} )

6. 若 ( \sin \theta = \frac{3}{5} )，且 ( \theta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) )，则 ( \tan \theta = )（ ）
   A. ( \frac{3}{4} )
   B. ( -\frac{3}{4} )
   C. ( \frac{4}{3} )
   D. ( -\frac{4}{3} )

7. 直线 ( y = 2x + 1 ) 与圆 ( x^2 + y^2 = 4 ) 的位置关系是（ ）
   A. 相离
   B. 相切
   C. 相交且不过圆心
   D. 相交且过圆心

8. 已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 2 )，则 ( f(x) ) 的极大值为（ ）
   A. 4
   B. 2
   C. 0
   D. -2

填空题（每题5分，共20分）

9. 若 ( \log_2 x = 3 )，则 ( x = )__。

10. 二项式 ( (2x - 1)^5 ) 的展开式中，( x^3 ) 项的系数为__。

11. 已知椭圆方程为 ( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 )，则其离心率 ( e = )__。

12. 若 ( \triangle ABC ) 中，( a = 3, b = 4, \angle C = 60^\circ )，则 ( c = )__。

解答题（共40分）

13. （10分）已知函数 ( f(x) = 2\sin x \cos x + \sqrt{3} \cos 2x )。
    （1）求 ( f(x) ) 的最小正周期；
    （2）求 ( f(x) ) 在区间 ( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] ) 上的最大值和最小值。

14. （10分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )。
    （1）求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )；
    （2）求直线 ( PC ) 与平面 ( PBD ) 所成角的正弦值。

15. （10分）已知数列 ({ a_n }) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = 2a_n + 1 )（( n \in \mathbb{N}^* )）。
    （1）证明：数列 ({ a_n + 1 }) 是等比数列；
    （2）求数列 ({ a_n }) 的通项公式。

16. （10分）已知抛物线 ( C: y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )，过点 ( F ) 的直线 ( l ) 与抛物线 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点。
    （1）若 ( |AB| = 8 )，求直线 ( l ) 的方程；
    （2）设点 ( M(4, 0) )，求证：( \angle AMB ) 为钝角。

2025年高中数学课本综合测试卷答案

选择题

1. A
2. B
3. A
4. A
5. A
6. B
7. C
8. A

填空题
9. 8
10. 80
11. ( \frac{\sqrt{7}}{4} )
12. ( \sqrt{13} )

解答题
13.
（1）( f(x) = \sin 2x + \sqrt{3} \cos 2x = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) )，最小正周期 ( T = \pi )。
（2）当 ( x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] ) 时，( 2x + \frac{\pi}{3} \in \left[ \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3} \right] )，
最大值为 ( 2 )（当 ( 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} ) 即 ( x = \frac{\pi}{12} ) 时取得），
最小值为 ( -\sqrt{3} )（当 ( 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} ) 即 ( x = \frac{\pi}{2} ) 时取得）。

14. （1）证明：∵ ( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( BD \subset ) 平面 ( ABCD )，∴ ( PA \perp BD )。
    ∵ ( ABCD ) 为正方形，∴ ( AC \perp BD )。
    又 ( PA \cap AC = A )，∴ ( BD \perp ) 平面 ( PAC )。
    （2）以 ( A ) 为原点建立空间直角坐标系，则 ( P(0,0,2), C(2,2,0), B(2,0,0), D(0,2,0) )。
    平面 ( PBD ) 法向量为 ( \vec{n} = (1,1,1) )，( \overrightarrow{PC} = (2,2,-2) )，
    设所求角为 ( \theta )，则 ( \sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{PC}|}{|\vec{n}| |\overrightarrow{PC}|} = \frac{|2+2-2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )。

15. （1）由 ( a_{n+1} = 2an + 1 ) 得 ( a{n+1} + 1 = 2(a_n + 1) )，
    又 ( a_1 + 1 = 2 \neq 0 )，∴ ({ a_n + 1 }) 是以 2 为首项、2 为公比的等比数列。
    （2）由（1）得 ( a_n + 1 = 2^n )，故 ( a_n = 2^n - 1 )。

16. （1）焦点 ( F(1,0) )，设直线 ( l: y = k(x-1) )，与 ( y^2 = 4x ) 联立得 ( k^2 x^2 - (2k^2+4)x + k^2 = 0 )，
    ( |AB| = x_1 + x_2 + 2 = \frac{2k^2+4}{k^2} + 2 = 8 )，解得 ( k^2 = 1 )，∴ ( k = \pm 1 )，直线方程为 ( y = x-1 ) 或 ( y = -x+1 )。
    （2）设 ( A(x_1,y_1), B(x_2,y_2) )，由 ( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (x_1-4)(x_2-4) + y_1 y_2 )，
    联立直线与抛物线，利用韦达定理得 ( \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = -4(1+k^2) < 0 )，故 ( \angle AMB ) 为钝角。