选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
在空间直角坐标系中,点 (P(1, -2, 3)) (xOy) 平面的对称点的坐标是（ ） A. ((-1, -2, 3)) B. ((1, -2, -3)) C. ((1, 2, 3)) D. ((-1, 2, -3))
已知直线 (l) 的方程为 (3x - 4y + 5 = 0)，则直线 (l) 的斜率是（ ） A. (\frac{3}{4}) B. (-\frac{3}{4}) C. (\frac{4}{3}) D. (-\frac{4}{3})
已知圆 (C: x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0)，则圆心坐标和半径分别是（ ） A. ((2, -3), 5) B. ((-2, 3), 5) C. ((2, -3), \sqrt{5}) D. ((-2, 3), \sqrt{5})
若直线 (l_1: (a-1)x + y - 1 = 0) 与直线 (l_2: 2x + ay + 1 = 0) 平行，则实数 (a) 的值为（ ） A. (-2) B. (2) C. (-1) D. (1)
已知 (\alpha)，(\beta) 是两个不同的平面，(m)，(n) 是两条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若 (m \parallel \alpha)，(n \parallel \alpha)，则 (m \parallel n) B. 若 (m \parallel \alpha)，(m \parallel \beta)，则 (\alpha \parallel \beta) C. 若 (m \perp \alpha)，(n \perp \alpha)，则 (m \parallel n) D. 若 (m \perp \alpha)，(m \perp n)，则 (n \parallel \alpha)
已知 (A(1, 2))，(B(3, 1))，则线段 (AB) 的垂直平分线的方程是（ ） A. (4x - 2y - 5 = 0) B. (4x + 2y - 5 = 0) C. (2x - 4y + 5 = 0) D. (2x + 4y - 5 = 0)
一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ） （假设三视图显示为一个底面半径为1cm，高为2cm的圆柱） A. (2\pi \, \text{cm}^3) B. (3\pi \, \text{cm}^3) C. (\frac{4\pi}{3} \, \text{cm}^3) D. (\pi \, \text{cm}^3)
若方程 (x^2 + y^2 + 2kx + 4y + 3k + 8 = 0) 表示一个圆，则实数 (k) 的取值范围是（ ） A. (k < -4) 或 (k > 1) B. (-4 < k < 1) C. (k < 1) D. (k > -4)
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知空间两点 (A(2, 0, 1))，(B(1, -1, 3))，则向量 (\overrightarrow{AB} =)__。
直线 (y = 2x + 1) 被圆 (x^2 + y^2 = 4) 截得的弦长为__。
在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，异面直线 (A_1B) 与 (AD_1) 所成角的大小为__。
解答题（本大题共4小题，第12题10分，第13题12分，第14题13分，第15题10分，共45分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知三角形 (ABC) 的顶点坐标为 (A(0, 1))，(B(3, 4))，(C(-1, 2))。 （1）求边 (BC) 所在直线的方程。 （2）求边 (BC) 上的高 (AD) 所在直线的方程。
（12分）如图，在四棱锥 (P-ABCD) 中，底面 (ABCD) 是正方形，(PA \perp) 平面 (ABCD)。 （1）求证：(CD \perp) 平面 (PAD)。 （2）若 (PA = AB = 2)，求四棱锥 (P-ABCD) 的体积。
（13分）已知圆 (C: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4) 和直线 (l: x - y + 3 = 0)。 （1）判断直线 (l) 与圆 (C) 的位置关系。 （2）若直线 (l) 与圆 (C) 相交，求弦长。 （3）求过点 (P(3, 1)) 且与圆 (C) 相切的直线方程。
（10分）在平面直角坐标系 (xOy) 中，已知两点 (A(-2, 0))，(B(2, 0))，动点 (P) 满足 (|PA| = 2|PB|)。 （1）求动点 (P) 的轨迹方程。 （2）判断该轨迹是何种曲线，并指出其中心（或顶点）和焦点（若存在）的坐标。
2025年高中数学必修二综合测试卷答案
选择题
- B
- A
- A
- B
- C
- A
- A
- A
填空题9. ((-1, -1, 2)) 10. (2\sqrt{3}) 11. (60^\circ)（或 (\frac{\pi}{3})）
解答题12. (1) 解：由 (B(3,4))，(C(-1,2))，得 (k{BC} = \frac{2-4}{-1-3} = \frac{1}{2})。 由点斜式得边 (BC) 方程为：(y - 4 = \frac{1}{2}(x - 3))，即 (x - 2y + 5 = 0)。 (2) 解：因为 (AD \perp BC)，(k{AD} = -2)，又 (AD) 过点 (A(0,1))。 由点斜式得高 (AD) 方程为：(y - 1 = -2(x - 0))，即 (2x + y - 1 = 0)。
(1) 证明：因为 (PA \perp) 平面 (ABCD)，(CD \subset) 平面 (ABCD)，(PA \perp CD)。 因为底面 (ABCD) 是正方形，(CD \perp AD)。 又 (PA \cap AD = A)，(PA, AD \subset) 平面 (PAD)，(CD \perp) 平面 (PAD)。 (2) 解：因为 (PA \perp) 平面 (ABCD)，(PA) 是四棱锥的高。 底面正方形面积 (S{ABCD} = AB^2 = 2^2 = 4)。 所以四棱锥体积 (V = \frac{1}{3} \times S{ABCD} \times PA = \frac{1}{3} \times 4 \times 2 = \frac{8}{3})。
(1) 解：圆 (C) 的圆心 (C(1,2))，半径 (r=2)。 圆心 (C) 到直线 (l) 的距离 (d = \frac{|1 - 2 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} < 2)。 所以直线 (l) 与圆 (C) 相交。 (2) 解：弦长 (L = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - 2} = 2\sqrt{2})。 (3) 解：当切线斜率存在时，设切线方程为 (y - 1 = k(x - 3))，即 (kx - y + 1 - 3k = 0)。 由圆心到切线的距离等于半径得：(\frac{|k - 2 + 1 - 3k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 2)，即 (\frac{|-2k -1|}{\sqrt{k^2+1}} = 2)。 解得 (k = \frac{3}{4})，所以切线方程为 (y - 1 = \frac{3}{4}(x - 3))，即 (3x - 4y - 5 = 0)。 当切线斜率不存在时，直线 (x = 3) 与圆心的距离为 (2)，等于半径，故 (x = 3) 也是切线。 综上，所求切线方程为 (3x - 4y - 5 = 0) 或 (x = 3)。
(1) 解：设 (P(x, y))，由 (|PA| = 2|PB|) 得：(\sqrt{(x+2)^2 + y^2} = 2\sqrt{(x-2)^2 + y^2})。 两边平方并整理得：((x+2)^2 + y^2 = 4[(x-2)^2 + y^2])。 化简得：(x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 16x + 16 + 4y^2)。 即 (3x^2 + 3y^2 - 20x + 12 = 0)，配方得：((x - \frac{10}{3})^2 + y^2 = \frac{64}{9})。 所以动点 (P) 的轨迹方程为 ((x - \frac{10}{3})^2 + y^2 = (\frac{8}{3})^2)。 (2) 解：该轨迹是一个圆。 圆心坐标为 ((\frac{10}{3}, 0))，半径为 (\frac{8}{3})。 该曲线为圆，没有焦点。