（考试时间：90分钟 满分：100分）
选择题（每题3分，共15分）
在空间直角坐标系中，点 ( P(1, -2, 3) ) ( xOy ) 平面的对称点坐标是（ ） A. ( (1, -2, -3) ) \quad B. ( (-1, -2, 3) ) \quad C. ( (1, 2, 3) ) \quad D. ( (-1, 2, -3) )
已知直线 ( l_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0 ) 与 ( l_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0 ) 平行，则（ ） A. ( a_1a_2 + b_1b_2 = 0 ) \quad B. ( a_1b_2 - a_2b_1 = 0 ) \quad C. ( \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} ) \quad D. ( a_1b_2 + a_2b_1 = 0 )
椭圆 ( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 ) 的离心率 ( e ) 等于（ ） A. ( \frac{3}{5} ) \quad B. ( \frac{4}{5} ) \quad C. ( \frac{5}{4} ) \quad D. ( \frac{5}{3} )
已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>0, b>0) ) 的一条渐近线方程为 ( y = \frac{3}{4}x )，则其离心率 ( e ) 为（ ） A. ( \frac{5}{4} ) \quad B. ( \frac{5}{3} ) \quad C. ( \frac{4}{3} ) 或 ( \frac{5}{3} ) \quad D. ( \frac{5}{4} ) 或 ( \frac{5}{3} )
已知数列 ( {a_n} ) 是等差数列，( a_1 + a_5 = 10 )，( a_4 = 7 )，则其公差 ( d ) 等于（ ） A. 1 \quad B. 2 \quad C. 3 \quad D. 4
填空题（每空2分，共20分）6. 两点 ( A(x_1, y_1) )，( B(x_2, y_2) ) 间的距离公式 ( |AB| = )__。 7. 点到直线 ( Ax + By + C = 0 ) 的距离公式 ( d = )__。 8. 斜率存在的两条直线 ( l_1, l_2 ) 垂直的充要条件是 ( k_1 \cdot k_2 = )__。 9. 圆的圆心为 ( (a, b) )，半径为 ( r ) 的标准方程为__。 10. 椭圆 ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a>b>0) ) 的离心率 ( e = )__，( c^2 = )__。 11. 双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 ) 的渐近线方程为__。 12. 抛物线 ( y^2 = 2px (p>0) ) 的焦点坐标为__，准线方程为__。 13. 等差数列 ( {a_n} ) 的通项公式 ( a_n = )__，前 ( n ) 项和公式 ( S_n = )__或 ( S_n = )__。
计算与推导题（共35分）14. （8分）已知直线过点 ( P(2, -1) ) 且与直线 ( 3x - 2y + 6 = 0 ) 垂直，求该直线的方程。 15. （10分）求圆心在点 ( C(1, -2) ) 且与直线 ( 3x - 4y - 7 = 0 ) 相切的圆的方程。 16. （8分）在等差数列 ( {a_n} ) 中，已知 ( a1 = 3 )，( d = 2 )，求 ( a{10} ) 和 ( S_{10} )。 17. （9分）推导点到平面的距离公式（已知平面 ( \pi: Ax + By + Cz + D = 0 ) 和点 ( P(x_0, y_0, z_0) )）。
综合应用题（每题15分，共30分）18. 已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 )。 （1）求椭圆的长轴长、短轴长、焦距和离心率。 （2）若点 ( P ) 是椭圆上一点，且 ( |PF_1| = 3 )（( F_1, F_2 ) 为左右焦点），求 ( |PF_2| )。 （3）求过点 ( M(2, 1) ) 且被点 ( M ) 平分的椭圆弦所在直线的方程。
已知双曲线 ( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 )。 （1）求实轴长、虚轴长、焦距、离心率和渐近线方程。 （2）若点 ( A(6, m) ) 在双曲线上，求 ( m ) 的值及 ( \triangle AF_1F_2 ) 的周长（( F_1, F_2 ) 为焦点）。
2025年高二数学公式大全（完整版）测试卷（带答案）
选择题
A \quad 2. B \quad 3. B \quad 4. D \quad 5. B
填空题6. ( \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ) 7. ( \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} ) 8. ( -1 ) 9. ( (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 ) 10. ( \frac{c}{a} )，( a^2 - b^2 ) 11. ( y = \pm \frac{b}{a}x ) 12. ( (\frac{p}{2}, 0) )，( x = -\frac{p}{2} ) 13. ( a_1 + (n-1)d )，( \frac{n(a_1 + a_n)}{2} )，( na_1 + \frac{n(n-1)}{2}d )
计算与推导题14.解：已知直线 ( 3x - 2y + 6 = 0 ) 的斜率 ( k_1 = \frac{3}{2} )，所求直线与之垂直，故斜率 ( k_2 = -\frac{2}{3} )。
由点斜式：( y + 1 = -\frac{2}{3}(x - 2) )
化简得：( 2x + 3y - 1 = 0 )
解：圆心 ( C(1, -2) ) 到直线 ( 3x - 4y - 7 = 0 ) 的距离即为半径 ( r )。
( r = \frac{|3 \times 1 + (-4) \times (-2) - 7|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 + 8 - 7|}{5} = \frac{4}{5} )
圆方程为：( (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = \frac{16}{25} )解：
( a_{10} = a1 + (10-1)d = 3 + 9 \times 2 = 21 )
( S{10} = \frac{10 \times (a1 + a{10})}{2} = 5 \times (3 + 21) = 120 )推导：
设平面 ( \pi ) 的法向量为 ( \vec{n} = (A, B, C) )，平面上任取一点 ( Q(x_1, y_1, z_1) )，满足 ( Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D = 0 )。
向量 ( \overrightarrow{QP} = (x_0 - x_1, y_0 - y_1, z_0 - z_1) )。
点 ( P ) 到平面的距离 ( d ) 等于 ( \overrightarrow{QP} ) 在法向量 ( \vec{n} ) 方向上投影的绝对值：
( d = \frac{|\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1) + C(z_0 - z_1)|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} )
由于 ( Ax_1 + By_1 + Cz_1 = -D )，代入得：
( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} )
综合应用题18.解：
（1）由方程知 ( a^2 = 16 \Rightarrow a = 4 )，( b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 )，( c^2 = a^2 - b^2 = 7 \Rightarrow c = \sqrt{7} )。
长轴长 ( 2a = 8 )，短轴长 ( 2b = 6 )，焦距 ( 2c = 2\sqrt{7} )，离心率 ( e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{7}}{4} )。
（2）由椭圆定义 ( |PF_1| + |PF_2| = 2a = 8 )，又 ( |PF_1| = 3 )，故 ( |PF_2| = 5 )。
（3）设弦两端点为 ( P(x_1, y_1), Q(x_2, y_2) )，中点 ( M(2, 1) )。
则 ( \frac{x_1^2}{16} + \frac{y_1^2}{9} = 1 )，( \frac{x_2^2}{16} + \frac{y_2^2}{9} = 1 )，两式相减得：
( \frac{(x_1 - x_2)(x_1 + x_2)}{16} + \frac{(y_1 - y_2)(y_1 + y_2)}{9} = 0 )
代入中点坐标：( \frac{4(x_1 - x_2)}{16} + \frac{2(y_1 - y_2)}{9} = 0 \Rightarrow \frac{x_1 - x_2}{4} + \frac{2(y_1 - y_2)}{9} = 0 )
故斜率 ( k = \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = -\frac{9}{8} )。
直线方程为：( y - 1 = -\frac{9}{8}(x - 2) )，即 ( 9x + 8y - 26 = 0 )。
- 解：
（1）由方程知 ( a^2 = 9 \Rightarrow a = 3 )，( b^2 = 16 \Rightarrow b = 4 )，( c^2 = a^2 + b^2 = 25 \Rightarrow c = 5 )。
实轴长 ( 2a = 6 )，虚轴长 ( 2b = 8 )，焦距 ( 2c = 10 )，离心率 ( e = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} )，渐近线 ( y = \pm \frac{4}{3}x )。
（2）将 ( A(6, m) ) 代入双曲线：( \frac{36}{9} - \frac{m^2}{16} = 1 \Rightarrow 4 - \frac{m^2}{16} = 1 \Rightarrow m^2 = 48 \Rightarrow m = \pm 4\sqrt{3} )。
由双曲线定义：( | |AF_1| - |AF_2| | = 2a = 6 )。
又 ( |F_1F_2| = 2c = 10 )。
设 ( |AF_1| = x )，( |AF_2| = y )，则 ( |x - y| = 6 )，且 ( x + y > 10 )。
周长 ( L = x + y + 10 )。
由 ( A(6, 4\sqrt{3}) ) 或 ( A(6, -4\sqrt{3}) ) 计算得 ( |AF_1| = \sqrt{(6+5)^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{121 + 48} = 13 )，
( |AF_2| = \sqrt{(6-5)^2 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 48} = 7 )，满足 ( |13 - 7| = 6 )。
故周长 ( L = 13 + 7 + 10 = 30 )。