（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {3, 4, 5} )，则 ( A \cap (\complement_U B) = )（ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {1, 3} ) \quad C. ( {1, 2} ) \quad D. ( {1, 2, 3} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 \geq 2x ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 1 < 2x ) \quad B. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 1 < 2x ) C. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 < 2x ) \quad D. ( \exists x > 0, \, x^2 + 1 \geq 2x )
下列函数中，既是偶函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = x^3 ) \quad B. ( y = |x| + 1 ) \quad C. ( y = -x^2 + 1 ) \quad D. ( y = 2^{-x} )
已知 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^{0.2} )， ( c = \log_{0.2} 0.3 )，则 ( a, b, c ) 的大小关系为（ ） A. ( a < b < c ) \quad B. ( b < a < c ) \quad C. ( c < b < a ) \quad D. ( b < c < a )
函数 ( f(x) = \ln x + 2x - 6 ) 的零点所在区间是（ ） A. ( (0, 1) ) \quad B. ( (1, 2) ) \quad C. ( (2, 3) ) \quad D. ( (3, 4) )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x \leq 0 \ -x^2 + 2x, & x > 0 \end{cases} )，则下列结论正确的是（ ） A. ( f(x) ) 是奇函数 \quad B. ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增 C. ( f(x) ) 的最小值是 -1 \quad D. ( f(x) ) 的值域是 ( [-1, +\infty) )
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2023年全年投入研发资金100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ） （参考数据： ( \lg 2 \approx 0.3010 )， ( \lg 1.1 \approx 0.0414 ) ） A. 2029年 \quad B. 2030年 \quad C. 2031年 \quad D. 2032年
设函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} )，若实数 ( a, b ) 满足 ( f(a) + f(b) > 0 )，则必有（ ） A. ( a + b > 0 ) \quad B. ( a + b < 0 ) \quad C. ( a - b > 0 ) \quad D. ( a - b < 0 )
多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ( f(x) = |x| )， ( g(t) = \sqrt{t^2} ) B. ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} )， ( g(x) = x + 1 ) C. ( f(x) = \sqrt{x^2} )， ( g(x) = (\sqrt{x})^2 ) D. ( f(x) = x^0 )， ( g(x) = 1 )
已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + c > 0 ) 的解集为 ( { x | -2 < x < 3 } )，则（ ） A. ( a < 0 ) B. ( a + b + c > 0 ) C. ( x ) 的不等式 ( cx^2 - bx + a > 0 ) 的解集为 ( { x | -\frac{1}{3} < x < \frac{1}{2} } ) D. ( c > 0 )
下列说法正确的是（ ） A. 若 ( x > 1 )，则 ( x + \frac{1}{x - 1} ) 的最小值为 3 B. 若 ( a > 0, b > 0 )，且 ( a + b = 1 )，则 ( \sqrt{a} + \sqrt{b} ) 的最大值为 ( \sqrt{2} ) C. 函数 ( y = \frac{x^2 + 5}{\sqrt{x^2 + 4}} ) 的最小值为 ( \frac{5}{2} ) D. 若 ( x, y ) 为正实数，且 ( x + y = 1 )，则 ( \frac{1}{x} + \frac{4}{y} ) 的最小值为 9
已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足： ( f(x+y) = f(x) + f(y) + 1 )，且当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) > -1 )，则（ ） A. ( f(0) = -1 ) B. ( f(x) ) 是奇函数 C. ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增 D. 若 ( f(a^2) + f(a - 2) > -2 )，则实数 ( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, -2) \cup (1, +\infty) )
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
函数 ( f(x) = \sqrt{4 - x} + \frac{1}{x - 1} ) 的定义域为__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3) x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = )__。
已知函数 ( f(x) = \log_a (2x - 1) + 2 ) （ ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 ) ）的图象恒过定点 ( P )，则点 ( P ) 的坐标是__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2ax, & x \leq 2 \ \log_2 x + a, & x > 2 \end{cases} ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的增函数，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知集合 ( A = { x | 2 \leq x \leq 6 } )， ( B = { x | 1 < x < 5 } )， ( C = { x | m - 1 \leq x \leq 2m + 1 } )。 （1）求 ( A \cup B )， ( \complement_R (A \cap B) )； （2）若 ( C \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）求解下列问题： （1）计算： ( \left( 2\frac{1}{4} \right)^{\frac{1}{2}} - (-9.6)^0 - \left( \frac{27}{8} \right)^{-\frac{2}{3}} + 0.1^{-2} )； （2）已知 ( \lg 2 = a )， ( \lg 3 = b )，试用 ( a, b ) 表示 ( \log_5 12 )。
（12分）已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 2 )。 （1）若 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 4] ) 上具有单调性，求实数 ( a ) 的取值范围； （2）若 ( x \in [-1, 1] )，求 ( f(x) ) 的最小值 ( g(a) ) 的表达式。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} )。 （1）判断并证明 ( f(x) ) 的奇偶性； （2）判断并证明 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上的单调性； （3）若 ( f(2t^2 - 3) + f(t^2 - k) < 0 ) 对任意 ( t \in [-1, 1] ) 恒成立，求实数 ( k ) 的取值范围。
（12分）某企业生产 ( A, B ) 两种产品，根据市场调查与预测，( A ) 产品的利润 ( y )（万元）与投资金额 ( x )（万元）的关系式为 ( y = 18 - \frac{180}{x + 10} )，( B ) 产品的利润 ( y )（万元）与投资金额 ( x )（万元）的关系可用如图所示的抛物线模型表示。 （1）若将10万元资金全部投入 ( A ) 产品生产，求所获利润； （2）若将10万元资金中的 ( x ) 万元投入 ( A ) 产品生产，其余投入 ( B ) 产品生产，设总利润为 ( f(x) ) 万元，求 ( f(x) ) 的解析式及其定义域； （3）怎样分配这10万元资金，才能使获得的总利润最大？最大总利润是多少万元？（注：抛物线模型顶点为 ( (4, 4.8) )，过点 ( (10, 0) ) ）
（12分）对于函数 ( f(x) )，若存在实数 ( x_0 )，使得 ( f(x_0) = x_0 )，则称 ( x_0 ) 为函数 ( f(x) ) 的“不动点”。 （1）求函数 ( f(x) = 2^x + x - 4 ) 的“不动点”； （2）若函数 ( g(x) = \log_a (3^x - 2) ) （ ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 ) ）在区间 ( [0, 1] ) 上存在“不动点”，求实数 ( a ) 的取值范围； （3）设函数 ( h(x) = x^2 + bx + c )，若对于任意实数 ( b )，函数 ( h(x) ) 都有两个相异的“不动点”，求实数 ( c ) 的取值范围。
2025年人教版高中数学必修一综合测试卷参考答案
单项选择题
A 2. C 3. B 4. D 5. C 6. C 7. C 8. A
多项选择题9. AD 10. ACD 11. ABD 12. ACD
填空题13. ( (-\infty, 1) \cup (1, 4] ) 或写成 ( { x | x \leq 4 \, 且 \, x \neq 1 } ) 14. 1 15. ( (1, 2) ) 16. ( [\frac{5}{2}, +\infty) ) 或 ( \frac{5}{2} \leq a < \infty )
解答题17. （1）( A \cup B = { x | 1 < x \leq 6 } )； ( \complement_R (A \cap B) = { x | x < 2 \, 或 \, x \geq 5 } )。 （2）由 ( C \subseteq A ) 得：当 ( C = \varnothing ) 时， ( m-1 > 2m+1 )，解得 ( m < -2 )；当 ( C \neq \varnothing ) 时，有 ( \begin{cases} m-1 \leq 2m+1 \ m-1 \geq 2 \ 2m+1 \leq 6 \end{cases} )，解得 ( 3 \leq m \leq \frac{5}{2} )，综上， ( m ) 的取值范围是 ( (-\infty, -2) \cup [3, \frac{5}{2}] )。
（1）原式 ( = \frac{3}{2} - 1 - \frac{4}{9} + 100 = 100 \frac{1}{18} )。 （2）( \log_5 12 = \frac{\lg 12}{\lg 5} = \frac{\lg (3 \times 2^2)}{\lg \frac{10}{2}} = \frac{\lg 3 + 2\lg 2}{1 - \lg 2} = \frac{b + 2a}{1 - a} )。
（1）函数 ( f(x) ) 对称轴为 ( x = a )，若在 ( [2, 4] ) 上单调递增，则 ( a \leq 2 )；若在 ( [2, 4] ) 上单调递减，则 ( a \geq 4 )，故 ( a ) 的取值范围是 ( (-\infty, 2] \cup [4, +\infty) )。 （2）对称轴为 ( x = a )。 ① 当 ( a < -1 ) 时， ( g(a) = f(-1) = 3 + 2a )； ② 当 ( -1 \leq a \leq 1 ) 时， ( g(a) = f(a) = 2 - a^2 )； ③ 当 ( a > 1 ) 时， ( g(a) = f(1) = 3 - 2a )。 综上， ( g(a) = \begin{cases} 3 + 2a, & a < -1 \ 2 - a^2, & -1 \leq a \leq 1 \ 3 - 2a, & a > 1 \end{cases} )。
（1）( f(x) ) 为奇函数，证明：定义域为 ( \mathbb{R} )， ( f(-x) = \frac{2^{-x} - 1}{2^{-x} + 1} = \frac{1 - 2^x}{1 + 2^x} = -\frac{2^x - 1}{2^x + 1} = -f(x) )。 （2）( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增，证明：设 ( x_1 < x_2 )，则 ( f(x_1) - f(x_2) = ... = \frac{2(2^{x_1} - 2^{x_2})}{(2^{x_1} + 1)(2^{x2} + 1)} < 0 )。 （3）由（1）（2）知，原不等式等价于 ( f(2t^2 - 3) < -f(t^2 - k) = f(k - t^2) )，即 ( 2t^2 - 3 < k - t^2 ) 对任意 ( t \in [-1, 1] ) 恒成立，即 ( k > 3t^2 - 3 ) 恒成立，当 ( t \in [-1, 1] ) 时， ( (3t^2 - 3){max} = 0 )，故 ( k > 0 )。
（1）当 ( x=10 ) 时， ( y = 18 - \frac{180}{20} = 9 )（万元）。 （2）设 ( B ) 产品利润模型为 ( y = p(x-4)^2 + 4.8 )，代入点 ( (10, 0) ) 得 ( p = -0.2 )，故 ( yB = -0.2(x-4)^2 + 4.8 )，总利润 ( f(x) = [18 - \frac{180}{x+10}] + [-0.2(10-x-4)^2 + 4.8] = 18 - \frac{180}{x+10} - 0.2(6-x)^2 + 4.8 )，定义域为 ( [0, 10] )。 （3）化简得 ( f(x) = -\frac{180}{x+10} - 0.2x^2 + 2.4x + 9.6 ) （ ( 0 \leq x \leq 10 ) ），可利用导数或配方法求最值，经分析或求导，当 ( x=5 ) 时， ( f(x){max} = f(5) = 10.