高一数学第二册电子课本综合测试卷（2025）

（满分：150分 考试时间：120分钟）

选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ( { x \mid 0 \leq x < 3 } )
   B. ( { x \mid -2 < x \leq 4 } )
   C. ( { x \mid 0 < x < 3 } )
   D. ( { x \mid -2 < x \leq 0 } )

2. 函数 ( f(x) = \sqrt{3-x} + \frac{1}{x+2} ) 的定义域是（ ）
   A. ( (-\infty, 3] )
   B. ( (-2, 3] )
   C. ( (-\infty, -2) \cup (-2, 3] )
   D. ( (-\infty, -2) \cup (-2, 3) )

3. 若 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_4 6 )，( c = \log_6 8 )，则（ ）
   A. ( a < b < c )
   B. ( b < a < c )
   C. ( c < b < a )
   D. ( b < c < a )

4. 已知角 ( \alpha ) 的终边经过点 ( P(-3, 4) )，则 ( \sin \alpha + \cos \alpha = )（ ）
   A. ( \frac{1}{5} )
   B. ( -\frac{1}{5} )
   C. ( \frac{7}{5} )
   D. ( -\frac{7}{5} )

5. 函数 ( f(x) = 2\sin\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) ) 的最小正周期是（ ）
   A. ( \pi )
   B. ( 2\pi )
   C. ( \frac{\pi}{2} )
   D. ( 4\pi )

6. 在 ( \triangle ABC ) 中，若 ( \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 4 : 5 )，则 ( \cos C = )（ ）
   A. ( \frac{1}{5} )
   B. ( \frac{2}{5} )
   C. ( \frac{3}{5} )
   D. ( \frac{4}{5} )

7. 已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (x, 4) )，且 ( \vec{a} \parallel \vec{b} )，则 ( x = )（ ）
   A. 2
   B. 4
   C. 6
   D. 8

8. 不等式 ( \frac{x-1}{x+2} \leq 0 ) 的解集是（ ）
   A. ( (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) )
   B. ( (-2, 1] )
   C. ( (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) )
   D. ( [-2, 1] )

9. 已知等差数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，若 ( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( S_9 = )（ ）
   A. 45
   B. 50
   C. 55
   D. 60

10. 若 ( \log_2 a + \log_2 b = 3 )，则 ( a + b ) 的最小值为（ ）
    A. 4
    B. 6
    C. 8
    D. 10

11. 将函数 ( y = \sin x ) 的图象上所有点向左平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ( \frac{1}{2} )，则所得图象对应的函数解析式为（ ）
    A. ( y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) )
    B. ( y = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) )
    C. ( y = \sin\left(\frac{1}{2}x + \frac{\pi}{3}\right) )
    D. ( y = \sin\left(\frac{1}{2}x + \frac{2\pi}{3}\right) )

12. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x, & x \leq 0 \ \ln x, & x > 0 \end{cases} )，若函数 ( g(x) = f(x) - m ) 有三个零点，则实数 ( m ) 的取值范围是（ ）
    A. ( (0, 1) )
    B. ( (0, 1] )
    C. ( [0, 1] )
    D. ( (-1, 0] )

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{2}{3}} + \log_5 25 = )__。

14. 已知 ( \sin \theta = \frac{3}{5} )，且 ( \theta \in \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) )，则 ( \tan \theta = )__。

15. 在 ( \triangle ABC ) 中，( a = 3 )，( b = 4 )，( \cos C = \frac{1}{3} )，则 ( \triangle ABC ) 的面积为__。

16. 已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 5 ) 在区间 ( [1, 3] ) 上单调递增，则实数 ( a ) 的取值范围是__。

解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （10分）
    已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid x^2 - 4x - 5 \leq 0 } )，( B = { x \mid 2^x \geq 4 } )。
    （1）求 ( A \cup B )；
    （2）求 ( \left( \complement_U A \right) \cap B )。

18. （12分）
    已知函数 ( f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x )。
    （1）求 ( f(x) ) 的最小正周期；
    （2）求 ( f(x) ) 在区间 ( \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] ) 上的最大值和最小值。

19. （12分）
    在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且满足 ( \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\cos C}{c} )。
    （1）求角 ( C ) 的大小；
    （2）若 ( c = 2\sqrt{3} )，且 ( \triangle ABC ) 的面积为 ( \sqrt{3} )，求 ( a + b ) 的值。

20. （12分）
    已知数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2n^2 + n )。
    （1）求数列 ( {a_n} ) 的通项公式；
    （2）设 ( b_n = \frac{1}{an a{n+1}} )，求数列 ( {b_n} ) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。

21. （12分）
    已知函数 ( f(x) = \log_a (x+1) - \log_a (1-x) )（( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）。
    （1）求函数 ( f(x) ) 的定义域；
    （2）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性，并说明理由；
    （3）若 ( f\left( \frac{1}{2} \right) = 1 )，求使 ( f(x) > 0 ) 成立的 ( x ) 的取值范围。

22. （12分）
    已知函数 ( f(x) = x^2 - 2x + 3 )，( g(x) = \log_2 x )。
    （1）设函数 ( h(x) = f(g(x)) )，求 ( h(x) ) 的单调递增区间；
    （2）设函数 ( p(x) = g(f(x)) )，若对任意 ( x \in [0, 3] )，都有 ( p(x) \leq m ) 成立，求实数 ( m ) 的最小值。

（试卷结束）

高一数学第二册电子课本综合测试卷（2025）参考答案

选择题

1. A
2. C
3. D
4. A
5. A
6. C
7. A
8. B
9. A
10. C
11. B
12. D

填空题

13. ( 11 )
14. ( -\frac{3}{4} )
15. ( 2\sqrt{6} )
16. ( (-\infty, 1] )

解答题

17. （1）( A = [-1, 5] )，( B = [2, +\infty) )
    ( A \cup B = [-1, +\infty) )
    （2）( \complement_U A = (-\infty, -1) \cup (5, +\infty) )
    ( \left( \complement_U A \right) \cap B = (5, +\infty) )

18. （1）( f(x) = \frac{1 - \cos 2x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x = \sin\left(2x - \frac{\pi}{6}\right) + \frac{1}{2} )
    最小正周期 ( T = \pi )
    （2）当 ( x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] ) 时，( 2x - \frac{\pi}{6} \in \left[ -\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} \right] )
    最大值为 ( \frac{3}{2} )，最小值为 ( 0 )

19. （1）由正弦定理得：( \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{2\cos C}{\sin C} )
    即 ( \cot A + \cot B = 2\cot C )
    又 ( \cot A + \cot B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B} )
    得 ( \sin^2 C = 2\sin A \sin B \cos C )
    由余弦定理和正弦定理可得 ( \cos C = \frac{1}{2} )，故 ( C = \frac{\pi}{3} )
    （2）由面积公式 ( S = \frac{1}{2}ab\sin C = \sqrt{3} ) 得 ( ab = 4 )
    由余弦定理 ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C ) 得 ( a^2 + b^2 = 16 )
    故 ( (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 24 )，( a+b = 2\sqrt{6} )

20. （1）当 ( n=1 ) 时，( a_1 = S_1 = 3 )
    当 ( n \geq 2 ) 时，( a_n = Sn - S{n-1} = 4n - 1 )
    当 ( n=1 ) 时也成立，故 ( a_n = 4n - 1 )
    （2）( b_n = \frac{1}{(4n-1)(4n+3)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right) )
    ( T_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{11} + \cdots + \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right) = \frac{n}{3(4n+3)} )

21. （1）由 ( \begin{cases} x+1 > 0 \ 1-x > 0 \end{cases} ) 得 ( -1 < x < 1 )，定义域为 ( (-1, 1) )
    （2）( f(-x) = \log_a (1-x) - \log_a (1+x) = -f(x) )，故为奇函数
    （3）由 ( f\left( \frac{1}{2} \right) = \log_a 3 = 1 ) 得 ( a = 3 )
    不等式 ( f(x) > 0 ) 即 ( \log_3 \frac{1+x}{1-x} > 0 )
    得 ( \frac{1+x}{1-x} > 1 )，解得 ( 0 < x < 1 )

22. （1）( h(x) = (\log_2 x)^2 - 2\log_2 x + 3 )
    令 ( t = \log_2 x )，则 ( h(t) = t^2 - 2t + 3 = (t-1)^2 + 2 )
    当 ( t \geq 1 ) 时单调递增，即 ( \log_2 x \geq 1 )，( x \geq 2 )
    所以单调递增区间为 ( [2, +\infty) )
    （2）( p(x) = \log2 (x^2 - 2x + 3) )
    令 ( u = x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2 )，当 ( x \in [0, 3] ) 时，( u \in [2, 6] )
    ( p(x){\text{max}} = \log_2 6 )
    故 ( m \geq \log_2 6 )，( m ) 的最小值为 ( \log_2 6 )

（参考答案结束）