2025年高中数学必修二北师大版综合测试卷（含答案）

选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 在空间直角坐标系中，点 ( P(1, -2, 3) ) ( xOy ) 平面的对称点坐标是（ ）
   A. ( (1, -2, -3) )
   B. ( (-1, -2, 3) )
   C. ( (1, 2, 3) )
   D. ( (-1, 2, -3) )

2. 直线 ( l: 2x - 3y + 6 = 0 ) 的斜率是（ ）
   A. ( \frac{2}{3} )
   B. ( -\frac{2}{3} )
   C. ( \frac{3}{2} )
   D. ( -\frac{3}{2} )

3. 已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 )，则圆心坐标和半径分别是（ ）
   A. ( (2, -3), 5 )
   B. ( (-2, 3), 5 )
   C. ( (2, -3), \sqrt{5} )
   D. ( (-2, 3), \sqrt{5} )

4. 若直线 ( l_1: y = kx + 2 ) 与直线 ( l_2: y = 3x - 1 ) 平行，则 ( k ) 的值为（ ）
   A. 3
   B. -3
   C. ( \frac{1}{3} )
   D. ( -\frac{1}{3} )

5. 在正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，异面直线 ( A_1B ) 与 ( AD_1 ) 所成角的大小为（ ）
   A. ( 30^\circ )
   B. ( 45^\circ )
   C. ( 60^\circ )
   D. ( 90^\circ )

6. 已知点 ( A(1, 2) )，( B(3, 1) )，则线段 ( AB ) 的垂直平分线方程是（ ）
   A. ( 4x - 2y - 5 = 0 )
   B. ( 4x + 2y - 5 = 0 )
   C. ( x + 2y - 5 = 0 )
   D. ( x - 2y + 5 = 0 )

7. 若一个圆锥的轴截面是边长为 2 的正三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）
   A. ( \pi )
   B. ( 2\pi )
   C. ( 3\pi )
   D. ( 4\pi )

8. 已知圆 ( C_1: (x-1)^2 + y^2 = 1 ) 与圆 ( C_2: x^2 + (y-2)^2 = r^2 ) 外切，则 ( r ) 的值为（ ）
   A. 1
   B. 2
   C. 3
   D. 4

填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）

9. 已知直线 ( l ) 经过点 ( (0, 1) ) 且倾斜角为 ( 60^\circ )，则直线 ( l ) 的方程为__。

10. 在空间几何中，垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是__。

11. 若圆 ( x^2 + y^2 = 4 ) 与直线 ( y = x + b ) 相切，则 ( b = )__。

12. 已知正四棱锥的底面边长为 4，侧棱长为 ( 2\sqrt{3} )，则该正四棱锥的高为__。

解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

13. 已知三角形 ( ABC ) 的三个顶点分别为 ( A(1, 2) )，( B(3, 4) )，( C(5, 0) )。
    （1）求边 ( AB ) 所在直线的方程；
    （2）求 ( \triangle ABC ) 的面积。

14. 如图，在长方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，( AB = 4 )，( AD = 3 )，( AA_1 = 2 )。
    （1）求证：( BD \perp A_1C )；
    （2）求三棱锥 ( B-A_1C_1D ) 的体积。

15. 已知圆 ( C: x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0 )，直线 ( l: x - y + 3 = 0 )。
    （1）求圆 ( C ) 的圆心坐标和半径；
    （2）判断直线 ( l ) 与圆 ( C ) 的位置关系,并说明理由。

16. 如图，四棱锥 ( P-ABCD ) 的底面是边长为 2 的正方形，侧棱 ( PA \perp ) 底面 ( ABCD )，且 ( PA = 2 )。
    （1）求四棱锥 ( P-ABCD ) 的体积；
    （2）求直线 ( PC ) 与底面 ( ABCD ) 所成角的正切值。

2025年高中数学必修二北师大版综合测试卷参考答案

选择题

1. A
2. A
3. A
4. A
5. C
6. A
7. B
8. B

填空题
9. ( y = \sqrt{3}x + 1 )
10. 平行、相交或异面（答“不确定”或“三种情况都有可能”也可）
11. ( \pm 2\sqrt{2} )
12. ( 2\sqrt{2} )

解答题
13.
（1）由两点式得 ( \frac{y-2}{4-2} = \frac{x-1}{3-1} )，化简得 ( x - y + 1 = 0 )。
（2）由 ( A(1,2) )，( B(3,4) )，( C(5,0) ) 得
( |AB| = \sqrt{(3-1)^2 + (4-2)^2} = 2\sqrt{2} )，
直线 ( AB: x - y + 1 = 0 )，
点 ( C ) 到直线 ( AB ) 的距离 ( d = \frac{|5 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} )，
所以面积 ( S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 3\sqrt{2} = 6 )。

14. （1）连接 ( AC )，在长方体中有 ( BD \perp AC )，又 ( AA_1 \perp ) 平面 ( ABCD )，( AA_1 \perp BD )，
    故 ( BD \perp ) 平面 ( AA_1C )，( BD \perp A_1C )。
    （2）三棱锥 ( B-A_1C_1D ) 的体积等于三棱锥 ( D-A_1B C1 ) 的体积，
    ( S{\triangle A_1B C_1} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 )，高为 ( AA_1 = 2 )，
    ( V = \frac{1}{3} \times 6 \times 2 = 4 )。

15. （1）圆方程化为 ( (x-3)^2 + (y+2)^2 = 9 )，圆心 ( (3, -2) )，半径 ( r = 3 )。
    （2）圆心到直线 ( l ) 的距离 ( d = \frac{|3 - (-2) + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} > 3 )，
    所以直线与圆相离。

16. （1）体积 ( V = \frac{1}{3} \times S_{底} \times h = \frac{1}{3} \times (2 \times 2) \times 2 = \frac{8}{3} )。
    （2）连接 ( AC )，因为 ( PA \perp ) 底面 ( ABCD )，( \angle PCA ) 即为直线 ( PC ) 与底面所成角，
    ( AC = 2\sqrt{2} )，( PA = 2 )，( \tan \angle PCA = \frac{PA}{AC} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} )。

试卷说明：本卷依据北师大版高中数学必修二教材内容命题，涵盖立体几何初步、解析几何初步等核心知识,注重基础与能力结合。