高中数学必修第一册综合测试卷（2025）

120分钟 满分：150分

选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x \mid 0 \leq x < 3 } ) B. ( { x \mid -2 < x \leq 4 } ) C. ( { x \mid 0 < x < 3 } ) D. ( { x \mid -2 < x \leq 0 } )

2. 命题“( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 )”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) D. ( \forall x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 )

3. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0
   B. 1
   C. 2
   D. 3

4. 若 ( a > b > 0 )，则下列不等式成立的是（ ） A. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} ) B. ( a^2 < b^2 ) C. ( \sqrt{a} > \sqrt{b} ) D. ( |a| < |b| )

5. 函数 ( f(x) = \sqrt{x-1} + \frac{1}{x-2} ) 的定义域为（ ） A. ( [1, 2) \cup (2, +\infty) ) B. ( (1, 2) \cup (2, +\infty) ) C. ( [1, +\infty) ) D. ( (1, +\infty) )

6. 已知 ( \alpha ) 是第二象限角，( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \cos \alpha = )（ ） A. ( \frac{4}{5} ) B. ( -\frac{4}{5} ) C. ( \frac{3}{4} ) D. ( -\frac{3}{4} )

7. 已知 ( a = \log_2 3 )，( b = 2^{0.3} )，( c = 0.3^{0.2} )，则（ ） A. ( a < b < c ) B. ( c < b < a ) C. ( b < a < c ) D. ( c < a < b )

8. 函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在区间为（ ） A. ( (0, 1) ) B. ( (1, 2) ) C. ( (2, 3) ) D. ( (3, 4) )

多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）

9. 下列函数中,既是偶函数又在区间 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ） A. ( y = x^2 + 1 ) B. ( y = |x| + 1 ) C. ( y = 2^x ) D. ( y = \cos x )

10. 下列说法正确的是（ ） A. “( x > 2 )” 是 “( x > 1 )” 的充分不必要条件 B. 若 ( a > b )，则 ( a^2 > b^2 ) C. 函数 ( y = \frac{1}{x} ) 在 ( (-\infty, 0) ) 上单调递减 D. 方程 ( x^2 - 2x + 1 = 0 ) 的否定是“方程 ( x^2 - 2x + 1 \neq 0 )”

11. 关于函数 ( f(x) = \sin(2x + \frac{\pi}{3}) )，下列结论正确的是（ ） A. 最小正周期为 ( \pi ) B. 图象关于点 ( (\frac{\pi}{6}, 0) ) 对称 C. 在区间 ( [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}] ) 上单调递增 D. 最大值为 2

填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

12. 计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{1}{3}} + \log_4 8 = )__。

13. 已知 ( \tan \theta = 2 )，则 ( \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta - \cos \theta} = )__。

14. 已知函数 ( f(x) = ax^2 + bx + 1 )（( a \neq 0 )）的图象关于直线 ( x = 1 ) 对称，且方程 ( f(x) = 0 ) 有两个相等的实数根，则 ( f(x) = )__。

解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15. （13分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid 3 \leq x < 7 } )，( B = { x \mid 4 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )，( (C_U A) \cap B )； （2）若集合 ( C = { x \mid x > a } )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。

16. （15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, +\infty) ) 上单调递减； （3）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 3] ) 上的最大值和最小值。

17. （15分）已知 ( f(x) = 2\sin x \cos x + 2\sqrt{3} \cos^2 x - \sqrt{3} )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的最小正周期； （2）求函数 ( f(x) ) 的单调递增区间； （3）当 ( x \in [0, \frac{\pi}{2}] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域。

18. （17分）某工厂生产某种产品的年固定成本为 200 万元，每生产 ( x ) 千件，需另投入成本 ( C(x) ) 万元，当年产量不足 80 千件时，( C(x) = \frac{1}{3}x^2 + 10x )；当年产量不小于 80 千件时，( C(x) = 51x + \frac{10000}{x} - 1450 \），已知每千件商品售价为 50 万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完。 （1）写出年利润 ( L(x) )（万元）关于年产量 ( x )（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

19. （17分）已知函数 ( f(x) = \log_a (1 - x) + \log_a (x + 3) )（( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）。 （1）求函数 ( f(x) ) 的定义域； （2）若函数 ( f(x) ) 的最小值为 -2，求实数 ( a ) 的值； （3）若 ( 0 < a < 1 )，求函数 ( f(x) ) 的单调区间。

参考答案见下页

高中数学必修第一册综合测试卷（2025）参考答案

选择题

1. A
2. B
3. C
4. C
5. A
6. B
7. D
8. B

多选题

9. AB
10. AC
11. ABC

填空题

12. ( \frac{10}{3} )
13. 3
14. ( x^2 - 2x + 1 )（或 ( (x-1)^2 )）

解答题

15. （1）( A \cup B = { x \mid 3 \leq x \leq 10 } )
    ( (C_U A) \cap B = { x \mid 7 \leq x \leq 10 } )
    （2）( a \geq 10 )

16. （1）奇函数，理由：定义域为 ( \mathbb{R} )，且 ( f(-x) = -f(x) )
    （2）证明：任取 ( x_1, x_2 \in [1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )，计算 ( f(x_1) - f(x_2) > 0 ) 即可
    （3）最大值为 ( f(1) = 1 )，最小值为 ( f(3) = \frac{3}{5} )

17. （1）( f(x) = 2\sin(2x + \frac{\pi}{3}) )，最小正周期 ( T = \pi )
    （2）单调递增区间为 ( [-\frac{5\pi}{12} + k\pi, \frac{\pi}{12} + k\pi] )，( k \in \mathbb{Z} )
    （3）值域为 ( [-\sqrt{3}, 2] )

18. （1）( L(x) = \begin{cases} -\frac{1}{3}x^2 + 40x - 200, & 0 < x < 80 \ -x - \frac{10000}{x} + 1650, & x \geq 80 \end{cases} )
    （2）当年产量为 100 千件时，利润最大，最大利润为 1000 万元。

19. （1）定义域为 ( (-3, 1) )
    （2）( f(x) = \log_a (-x^2 - 2x + 3) )，最小值为 -2 时，( a = \frac{1}{2} )
    （3）当 ( 0 < a < 1 ) 时，单调递增区间为 ( (-3, -1] )，单调递减区间为 ( [-1, 1) )