（满分：150分 时间：120分钟）
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知复数 ( z = 1 - i )，则 ( z \cdot \overline{z} = ) （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. ( \sqrt{2} )
在 (\triangle ABC) 中，已知 ( a = 3, b = 4, \sin A = \frac{1}{3} )，则 ( \sin B = ) （ ） A. ( \frac{4}{9} ) B. ( \frac{9}{4} ) C. ( \frac{1}{4} ) D. ( \frac{4}{3} )
已知向量 ( \vec{a} = (2, 1) ), ( \vec{b} = (-1, 3) )，则 ( \vec{a} ) 在 ( \vec{b} ) 方向上的投影向量为 （ ） A. ( \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right) ) B. ( \left( \frac{1}{10}, -\frac{3}{10} \right) ) C. ( \left( -\frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) ) D. ( \left( \frac{1}{2}, -\frac{3}{2} \right) )
已知某圆锥的底面半径为 ( \sqrt{3} )，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为 （ ） A. 2 B. ( 2\sqrt{3} ) C. 4 D. ( 4\sqrt{3} )
已知 ( \alpha, \beta ) 是两个不同的平面，( m, n ) 是两条不同的直线，则下列命题正确的是 （ ） A. 若 ( m \parallel \alpha, n \parallel \alpha )，则 ( m \parallel n ) B. 若 ( m \perp \alpha, n \perp \alpha )，则 ( m \parallel n ) C. 若 ( \alpha \perp \beta, m \subset \alpha )，则 ( m \perp \beta ) D. 若 ( m \parallel \alpha, m \subset \beta )，则 ( \alpha \parallel \beta )
从 ( 1, 2, 3, 4, 5 ) 这五个数字中任取两个不同的数，则取出的两个数之和为偶数的概率为 （ ） A. ( \frac{1}{5} ) B. ( \frac{2}{5} ) C. ( \frac{3}{5} ) D. ( \frac{4}{5} )
已知 ( \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{3} )，则 ( \sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) = ) （ ） A. ( -\frac{7}{9} ) B. ( \frac{7}{9} ) C. ( -\frac{4\sqrt{2}}{9} ) D. ( \frac{4\sqrt{2}}{9} )
在棱长为 2 的正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，点 ( P ) 为棱 ( B_1C_1 ) 的中点，则三棱锥 ( P-AA_1D ) 的体积为 （ ） A. ( \frac{1}{3} ) B. ( \frac{2}{3} ) C. 1 D. ( \frac{4}{3} )
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
关于复数 ( z = \frac{i}{1+i} )，下列说法正确的是 （ ） A. ( z ) 的虚部为 ( \frac{1}{2} ) B. ( |z| = \frac{\sqrt{2}}{2} ) C. ( z^2 = -\frac{1}{2}i ) D. ( z ) 在复平面内对应的点位于第二象限
已知事件 ( A, B )，且 ( P(A) = 0.6, P(B) = 0.3 )，则下列说法正确的是 （ ） A. 若 ( A, B ) 为互斥事件，则 ( P(A \cup B) = 0.9 ) B. 若 ( P(A \cup B) = 0.8 )，则 ( A, B ) 为相互独立事件 C. 若 ( A, B ) 为相互独立事件，则 ( P(A \cup B) = 0.72 ) D. 若 ( B \subseteq A )，则 ( P(A \overline{B}) = 0.4 )
在 (\triangle ABC) 中，角 ( A, B, C ) 所对的边分别为 ( a, b, c )，下列结论正确的是 （ ） A. 若 ( a \cos B = b \cos A )，则 (\triangle ABC) 为等腰三角形 B. 若 ( \sin^2 A + \sin^2 B < \sin^2 C )，则 (\triangle ABC) 为钝角三角形 C. 若 ( a = 5, b = 8, c = 7 )，则 (\triangle ABC) 的面积为 ( 10\sqrt{3} ) D. 若 ( \frac{a}{\cos A} = \frac{b}{\cos B} = \frac{c}{\cos C} )，则 (\triangle ABC) 为等边三角形
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知向量 ( \vec{a} = (1, \lambda) ), ( \vec{b} = (2, 1) )，且 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则实数 ( \lambda = )__。
已知某球的体积为 ( 36\pi )，则该球的表面积为__。
已知 ( \tan \alpha = 2 )，则 ( \frac{\sin 2\alpha - \cos^2 \alpha}{1 + \cos 2\alpha} = )__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分） 已知复数 ( z = (m^2 - 2m - 3) + (m - 3)i )，( m \in \mathbb{R} )。 （1）若 ( z ) 为纯虚数，求 ( m ) 的值； （2）若 ( z ) 在复平面内对应的点位于第四象限，求 ( m ) 的取值范围。
（15分） 在 (\triangle ABC) 中，角 ( A, B, C ) 所对的边分别为 ( a, b, c )，且满足 ( \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\cos C}{c} )。 （1）求角 ( C ) 的大小； （2）若 ( a + b = 6 )，且 ( c = 2\sqrt{3} )，求 (\triangle ABC) 的面积。
（15分） 如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是边长为 2 的正方形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，且 ( PA = 2 )。 （1）求证：( BD \perp ) 平面 ( PAC )； （2）求直线 ( PC ) 与平面 ( PBD ) 所成角的正弦值。
（17分） 某校举办“数学文化节”知识竞赛，比赛分为初赛和决赛，已知初赛共有 10 道题，每题答对得 10 分，答错或不答得 0 分，小明答对每道题的概率均为 ( \frac{3}{4} )，且各题作答结果相互独立。 （1）求小明初赛得分恰好为 80 分的概率； （2）若初赛得分不低于 80 分即可进入决赛,求小明能进入决赛的概率。
（17分） 已知向量 ( \vec{m} = (\sqrt{3} \sin \omega x, \cos \omega x) )，( \vec{n} = (\cos \omega x, -\cos \omega x) )，( \omega > 0 )，设函数 ( f(x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{1}{2} )，且 ( f(x) ) 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ( \frac{\pi}{4} )。 （1）求 ( \omega ) 的值及函数 ( f(x) ) 的单调递增区间； （2）若 ( x \in [0, \frac{\pi}{2}] )，求函数 ( f(x) ) 的值域。
2025年高一数学必修下册综合测试卷（参考答案）
选择题
C 2. A 3. A 4. B 5. B 6. B 7. A 8. B
多选题9. AB 10. AD 11. ABD
填空题12. -2 13. ( 36\pi ) 14. ( \frac{1}{2} )
解答题15. (1) 由题意得： ( m^2 - 2m - 3 = 0 ) 且 ( m - 3 \neq 0 )。 解得 ( m = -1 )。 (2) 由题意得： ( m^2 - 2m - 3 > 0 ) 且 ( m - 3 < 0 )。 解不等式组得：( -1 < m < 3 )。
(1) 由正弦定理及已知得： ( \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{2\cos C}{\sin C} )， 即 ( \cot A + \cot B = 2\cot C )。 又由三角形中恒等式 ( \cot A \cot B + \cot B \cot C + \cot C \cot A = 1 ) 及上式可解得 ( \cot C = \sqrt{3} ) 或 ( -\sqrt{3} )（舍）， 故 ( C = \frac{\pi}{6} )。 （或利用余弦定理化边直接求得 ( \cos C = \frac{\sqrt{3}}{2} )，( C = \frac{\pi}{6} )） (2) 由余弦定理 ( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C ) 及 ( a+b=6 ) 得： ( 12 = (a+b)^2 - 2ab - \sqrt{3}ab = 36 - (2+\sqrt{3})ab )。 解得 ( ab = \frac{24}{2+\sqrt{3}} = 24(2-\sqrt{3}) )。 故面积 ( S = \frac{1}{2}ab \sin C = \frac{1}{2} \times 24(2-\sqrt{3}) \times \frac{1}{2} = 6(2-\sqrt{3}) )。
(1) 证明：连接 ( AC )，交 ( BD ) 于点 ( O )。 ∵ ( ABCD ) 为正方形，∴ ( AC \perp BD )。 ∵ ( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( BD \subset ) 平面 ( ABCD )， ∴ ( PA \perp BD )。 又 ( PA \cap AC = A )，( PA, AC \subset ) 平面 ( PAC )， ∴ ( BD \perp ) 平面 ( PAC )。 (2) 以 ( A ) 为原点，建立空间直角坐标系 ( A-xyz )。 ( A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0), D(0,2,0), C(2,2,0) )。 ( \overrightarrow{PC} = (2,2,-2) )，( \overrightarrow{PB} = (2,0,-2) )，( \overrightarrow{PD} = (0,2,-2) )。 设平面 ( PBD ) 的法向量 ( \vec{n} = (x,y,z) )， 由 ( \vec{n} \cdot \overrightarrow{PB} = 0 )，( \vec{n} \cdot \overrightarrow{PD} = 0 ) 得： ( 2x - 2z = 0 )，( 2y - 2z = 0 )，取 ( z=1 )，得 ( \vec{n} = (1,1,1) )。 设直线 ( PC ) 与平面 ( PBD ) 所成角为 ( \theta )， 则 ( \sin \theta = |\cos < \overrightarrow{PC}, \vec{n} >| = \frac{|2+2-2|}{\sqrt{12} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} )。
(1) 设小明答对题数为 ( X )，则 ( X \sim B(10, \frac{3}{4}) )。 得分80分对应答对8题。 ( P(X=8) = C{10}^{8} (\frac{3}{4})^8 (\frac{1}{4})^2 = 45 \times \frac{3^8}{4^{10}} = \frac{45 \times 6561}{1048576} \approx 0.2816 )（或写成分数形式）。 (2) 进入决赛的概率为： ( P(X \geq 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) )。 ( P(X=9) = C{10}^{9} (\frac{3}{4})^9 (\frac{1}{4})^1 = 10 \times \frac{3^9}{4^{10}} )。 ( P(X=10) = C_{10}^{10} (\frac{3}{4})^{10} (\frac{1}{4})^0 = \frac{3^{10}}{4^{10}} )。 三者和为 ( \frac{45 \times 3^8 + 10 \times 3^9 + 3^{10}}{4^{10}} = \frac{3^8(45+30+9)}{4^{10}} = \frac{3^8 \times 84}{4^{10}} = \frac{6561 \times 84}{1048576} \approx 0.5256 )。
(1) ( f(x) = \vec{m} \cdot \vec{n} + \frac{1}{2} = \sqrt{3} \sin \omega x \cos \omega x - \cos^2 \omega x + \frac{1}{2} ) ( = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\omega x - \frac{1+\cos 2\omega x}{2} + \frac{1}{2} ) ( = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2\omega x - \frac{1}{2} \cos 2\omega x ) ( = \sin(2\omega x - \frac{\pi}{6}) )。 由题意，( f(x) ) 图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为 ( \frac{T}{4} = \frac{\pi}{4} )， 所以周期 ( T = \pi )，即 ( \frac{2\pi}{2\omega} = \pi )，解得 ( \omega = 1 )。 故 ( f(x) = \sin(2x - \frac{\pi}{6}) )。 令 ( -\frac{\pi}{2} + 2k\pi \leq 2x - \frac{\pi}{6} \leq \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} )， 解得 ( -\frac{\pi}{6} + k\pi \leq x \leq \frac{\pi}{3} + k\pi, k \in \mathbb{Z} )。 所以单调递增区间为 ( [-\frac{\pi}{6} + k\pi, \frac{\pi}{3} + k\pi], k \in \mathbb{Z} )。 (2) 当 ( x \in [0, \frac{\pi}{2}] ) 时，( 2x - \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}] )。 函数 ( y = \sin t ) 在 ( t \in [-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}] ) 上单调递增，在 ( t \in [\frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}] ) 上单调递减。 且 ( \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2} )，( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 )，( \sin(\frac{5\pi}{6}) = \frac{1}{2} )。 ( f(x) ) 的值域为 ( [-\frac{1}{2}, 1] )。