2025年普通高等学校招生全国统一考试

数学（新课标卷）**

注意事项：

1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )
   A. ( { x \mid 0 \leq x < 3 } )
   B. ( { x \mid -2 < x \leq 4 } )
   C. ( { x \mid 0 \leq x \leq 4 } )
   D. ( { x \mid -2 < x \leq 0 } )

2. 若复数 ( z ) 满足 ( z(1 + i) = 2 - i )（( i ) 为虚数单位），则 ( z ) 的虚部为
   A. ( \frac{3}{2} )
   B. ( -\frac{3}{2} )
   C. ( \frac{1}{2} )
   D. ( -\frac{1}{2} )

3. 已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp (\vec{a} - \vec{b}) )，则实数 ( m = )
   A. 3
   B. -3
   C. 5
   D. -5

4. 函数 ( f(x) = \frac{\ln|x|}{x^2} ) 的图像大致为
   A. （图像略，考察奇偶性、单调性、渐近线）
   B. （图像略）
   C. （图像略）
   D. （图像略）

5. 已知 ( \alpha \in (0, \pi) )，且 ( 3\cos 2\alpha - 5\sin \alpha = 1 )，则 ( \sin \alpha = )
   A. ( \frac{1}{3} )
   B. ( \frac{2}{3} )
   C. ( \frac{4}{5} )
   D. ( \frac{3}{5} )

6. 设 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_3 4 )，( c = 2^{0.1} )，则
   A. ( a < b < c )
   B. ( b < a < c )
   C. ( c < b < a )
   D. ( b < c < a )

7. 已知椭圆 ( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的右焦点为 ( F )，上顶点为 ( B )，若直线 ( BF ) 与椭圆交于另一点 ( P )，且 ( \overrightarrow{BF} = 2 \overrightarrow{FP} )，则椭圆的离心率为
   A. ( \frac{1}{3} )
   B. ( \frac{\sqrt{2}}{2} )
   C. ( \frac{\sqrt{3}}{2} )
   D. ( \frac{2}{3} )

8. 已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 在区间 ( [0, 2\pi] ) 上有且仅有 3 个零点，则 ( \omega ) 的取值范围是
   A. ( [\frac{5}{4}, \frac{7}{4}) )
   B. ( [\frac{5}{4}, \frac{7}{4}] )
   C. ( [\frac{7}{4}, \frac{9}{4}) )
   D. ( [\frac{7}{4}, \frac{9}{4}] )

选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 下列说法中,正确的有
   A. 数据 2, 4, 6, 8, 10 的第70百分位数为 7
   B. 若随机变量 ( X \sim N(2, \sigma^2) )，且 ( P(X < 4) = 0.8 )，则 ( P(0 < X < 2) = 0.3 )
   C. 在经验回归方程 ( \hat{y} = 0.6x + \hat{a} ) 中，当解释变量 ( x ) 每增加 1 个单位时，响应变量 ( \hat{y} ) 平均增加 0.6 个单位
   D. 若事件 ( A, B ) 相互独立，则 ( P(A \cup B) = P(A) + P(B) )

10. 已知正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 的棱长为 2，点 ( M, N ) 分别为棱 ( B_1C_1, C_1D_1 ) 的中点，点 ( P ) 在侧面 ( BCC_1B_1 ) 内运动（包含边界），则
    A. 直线 ( A_1C ) 与平面 ( AMN ) 平行
    B. 三棱锥 ( A-MNC_1 ) 的体积为定值
    C. 若 ( D_1P \perp A_1C )，则点 ( P ) 的轨迹长度为 ( \frac{\sqrt{2}}{2} )
    D. 直线 ( AP ) 与平面 ( AMN ) 所成角的正弦值的最大值为 ( \frac{2\sqrt{5}}{5} )

11. 已知函数 ( f(x) ) 及其导函数 ( f'(x) ) 的定义域均为 ( R )，且 ( f(x+2) ) 为奇函数，( f(2x+1) ) 为偶函数，( f(0) = 1 )，则
    A. ( f'(2) = 0 )
    B. ( f(2026) = 1 )
    C. ( f'(2025) = 0 )
    D. ( \sum_{k=1}^{2025} f(k) = 2025 )

填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 已知 ( (x + \frac{a}{x})^5 ) 的展开式中常数项为 10，则实数 ( a = )__。

13. 已知数列 ( {a_n} ) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = \begin{cases} a_n + 2, & n \text{为奇数} \ 2a_n, & n \text{为偶数} \end{cases} )，则 ( a_6 = )__。

14. 已知 ( A, B, C, D ) 是半径为 2 的球面上的四点，且满足 ( AB \perp AC )，( AB = AC = 2 )，( AD ) 为直径，则四面体 ( ABCD ) 体积的最大值为__。

解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15. （13分）
    记 ( \triangle ABC ) 的内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，已知 ( \frac{\sin A}{a} = \frac{\sqrt{3}\cos B}{b} )。
    （1）求角 ( B ) 的大小；
    （2）若 ( b = 2\sqrt{3} )，且 ( \triangle ABC ) 为锐角三角形，求 ( \triangle ABC ) 周长的取值范围。

16. （15分）
    如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为正方形，( PA \perp ) 底面 ( ABCD )，( PA = AB = 2 )，点 ( E, F ) 分别为棱 ( PB, PD ) 的中点。
    （1）证明：( EF \parallel ) 平面 ( ABCD )；
    （2）求平面 ( AEF ) 与平面 ( PCD ) 夹角的余弦值。

17. （15分）
    已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 )（( e ) 为自然对数的底数）。
    （1）讨论 ( f(x) ) 的单调性；
    （2）若 ( f(x) \geq \frac{1}{2}x^2 ) 对任意 ( x \geq 0 ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。

18. （17分）
    已知双曲线 ( C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0) ) 的离心率为 ( \sqrt{2} )，且过点 ( (\sqrt{2}, 1) )。
    （1）求双曲线 ( C ) 的方程；
    （2）设点 ( A, B ) 为双曲线 ( C ) 的左、右顶点，点 ( P ) 为直线 ( x = 1 ) 上的动点，直线 ( PA, PB ) 分别与双曲线 ( C ) 交于 ( M, N ) 两点（不同于点 ( A, B )），证明：直线 ( MN ) 过定点。

19. （17分）
    某校举行围棋比赛，甲、乙两人进行决赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为 ( p (0 < p < 1) )，且各局比赛结果相互独立。
    （1）求比赛恰好进行四局且甲获胜的概率；
    （2）若甲以 3:1 获胜的概率比甲以 3:0 获胜的概率大 ( \frac{1}{24} )，求 ( p ) 的值；
    （3）在（2）的条件下，设比赛总局数为 ( X )，求 ( X ) 的分布列和数学期望。

（以下为答案部分，考试时不含此部分）

2025年普通高等学校招生全国统一考试
数学（新课标卷）参考答案

选择题

1. A
2. B
3. C
4. A
5. D
6. B
7. D
8. C

选择题9. BC
10. AC
11. ABD

填空题12. ( \pm 1 )
13. 22
14. ( \frac{4\sqrt{2}}{3} )

解答题15. （1）( B = \frac{\pi}{3} )；（2）周长范围：( (4\sqrt{3}, 6\sqrt{3}] )
16. （1）略；（2）( \frac{\sqrt{6}}{3} )
17. （1）当 ( a \leq 0 ) 时，( f(x) ) 在 ( R ) 上单调递增；当 ( a > 0 ) 时，在 ( (-\infty, \ln a) ) 上单调递减，在 ( (\ln a, +\infty) ) 上单调递增；（2）( a \leq \frac{3}{2} )
18. （1）( \frac{x^2}{2} - y^2 = 1 )；（2）定点为 ( (4, 0) )，证明略
19. （1）( 3p^3(1-p) )；（2）( p = \frac{2}{3} )；（3）分布列略，( E(X) = \frac{107}{27} )