选择题（每题5分，共30分）
函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 1 ) 的单调递减区间是（ ）
A. ((-1, 1))
B. ((-\infty, -1))
C. ((-1, +\infty))
D. ((-\infty, -1) \cup (1, +\infty))已知函数 ( f(x) = e^x - ax ) 在 ( x=0 ) 处取得极值，则实数 ( a ) 的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. (e)
D. 不存在若曲线 ( y = x^2 + ax + b ) 在点 ((1, 2)) 处的切线斜率为 3，则 ( a + b = )（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4函数 ( f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2 ) 在区间 ([-1, 3]) 上的最大值为（ ）
A. 2
B. (\frac{8}{3})
C. 4
D. (\frac{10}{3})已知 ( f'(x) ) 是函数 ( f(x) ) 的导函数，若 ( f'(x) > 0 ) 在区间 ((a, b)) 上恒成立，则 ( f(x) ) 在 ((a, b)) 上（ ）
A. 单调递增
B. 单调递减
C. 有极大值
D. 有极小值若函数 ( f(x) = \ln x - mx ) 有两个零点，则实数 ( m ) 的取值范围是（ ）
A. ((0, \frac{1}{e}))
B. ((0, e))
C. ((\frac{1}{e}, +\infty))
D. ((0, 1))
填空题（每题5分，共20分）
函数 ( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x ) 的极小值点为__。
已知 ( f(x) = \sin x + \cos x )，则 ( f'(\frac{\pi}{4}) = )__。
若函数 ( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + a^2 ) 在 ( x=1 ) 处有极值 10，则 ( a + b = )__。
曲线 ( y = x^2 ) 与直线 ( y = 4 ) 所围成的封闭图形的面积为__。
解答题（共50分）
（12分）已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2 )。
（1）求函数 ( f(x) ) 的单调区间；
（2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ([-2, 2]) 上的最大值和最小值。（12分）设函数 ( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d ) 的图像关于原点对称，且在 ( x=1 ) 处取得极值 ( -\frac{2}{3} )。
（1）求 ( a, b, c, d ) 的值；
（2）求函数 ( f(x) ) 的单调区间。（13分）已知函数 ( f(x) = e^x - x - 1 )。
（1）证明：( f(x) \geq 0 ) 恒成立；
（2）若方程 ( f(x) = m ) 有两个不相等的实数根 ( x_1, x_2 )，求证：( x_1 + x_2 < 0 )。（13分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 ( 4800 \, \text{m}^3 )，深为 ( 3 \, \text{m} )，如果池底每平方米的造价为 150 元，池壁每平方米的造价为 120 元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少元？
参考答案
选择题
- A
- B
- B
- D
- A
- A
填空题
7. ( 3 )
8. ( 0 )
9. ( -7 )
10. ( \frac{32}{3} )
解答题
11.
（1）( f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x-3)(x+1) )
令 ( f'(x) > 0 )，得 ( x<-1 ) 或 ( x>3 )；令 ( f'(x) < 0 )，得 ( -1<x<3 )。
所以单调递增区间为 ( (-\infty, -1) ) 和 ( (3, +\infty) )，单调递减区间为 ( (-1, 3) )。
（2）由（1）知在 ([-2, 2]) 上，( f(x) ) 在 ([-2, -1]) 上递增，在 ([-1, 2]) 上递减。
( f(-2)=0, f(-1)=7, f(2)=-20 )，所以最大值为 7，最小值为 -20。
（1）由图像关于原点对称，得 ( f(x) ) 为奇函数，( b=0, d=0 )。
则 ( f(x)=ax^3+cx )，( f'(x)=3ax^2+c )。
由 ( f(1)=-\frac{2}{3} ) 得 ( a+c=-\frac{2}{3} )，由 ( f'(1)=0 ) 得 ( 3a+c=0 )。
解得 ( a=\frac{1}{3}, c=-1 )，( f(x)=\frac{1}{3}x^3 - x )。
（2）( f'(x)=x^2-1=(x-1)(x+1) )。
令 ( f'(x)>0 ) 得 ( x<-1 ) 或 ( x>1 )；令 ( f'(x)<0 ) 得 ( -1<x<1 )。
所以单调递增区间为 ( (-\infty, -1) ) 和 ( (1, +\infty) )，单调递减区间为 ( (-1, 1) )。（1）( f'(x)=e^x-1 )，令 ( f'(x)=0 ) 得 ( x=0 )。
当 ( x<0 ) 时 ( f'(x)<0 )，当 ( x>0 ) 时 ( f'(x)>0 )，
( f(x) ) 在 ( (-\infty, 0) ) 上递减，在 ( (0, +\infty) ) 上递增，
最小值为 ( f(0)=0 )，故 ( f(x) \geq 0 ) 恒成立。
（2）由（1）知 ( f(x) ) 在 ( (-\infty, 0) ) 上递减，在 ( (0, +\infty) ) 上递增，且 ( f(0)=0 )。
若方程 ( f(x)=m ) 有两个不等实根 ( x_1, x_2 )，则必有 ( m>0 )，且 ( x_1<0<x_2 )。
构造函数 ( g(x)=f(x)-f(-x) )（( x>0 )），
则 ( g'(x)=f'(x)+f'(-x)=e^x-1+e^{-x}-1=e^x+e^{-x}-2 \geq 0 )（当且仅当 ( x=0 ) 取等号），
( g(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增，故当 ( x>0 ) 时 ( g(x)>g(0)=0 )，
即 ( f(x)>f(-x) )，令 ( x=x_2>0 )，则 ( f(x_2)>f(-x_2) )。
又 ( f(x_1)=f(x_2)=m )，( f(x_1)>f(-x_2) )。
因为 ( x_1<0 )，且 ( f(x) ) 在 ( (-\infty, 0) ) 上单调递减，( x_1<-x_2 )，即 ( x_1+x_2<0 )。设池底一边长为 ( x \, \text{m} )，则另一边长为 ( \frac{4800}{3x} = \frac{1600}{x} \, \text{m} )。
池底面积 ( S{\text{底}} = x \cdot \frac{1600}{x} = 1600 \, \text{m}^2 )，池壁面积 ( S{\text{壁}} = 2 \times 3 \times (x + \frac{1600}{x}) = 6(x + \frac{1600}{x}) \, \text{m}^2 )。
总造价 ( y = 150 \times 1600 + 120 \times 6(x + \frac{1600}{x}) = 240000 + 720(x + \frac{1600}{x}) )（元）。
由基本不等式 ( x + \frac{1600}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1600}{x}} = 80 )，当且仅当 ( x = \frac{1600}{x} ) 即 ( x=40 ) 时取等号。
所以当 ( x=40 ) 时，( y_{\text{min}} = 240000 + 720 \times 80 = 297600 ) 元。
故当池底设计为边长 ( 40 \, \text{m} ) 的正方形时，总造价最低，为 297600 元。