（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知全集 ( U = {1, 2, 3, 4, 5} )，集合 ( A = {1, 3} )，( B = {2, 3, 5} )，则 ( A \cap (\complement_U B) = ) （ ） A. ( {1} ) \quad B. ( {3} ) \quad C. ( {1, 3} ) \quad D. ( {1, 4} )
命题“ ( \forall x > 0, x^2 + 1 \geq 2x ) ”的否定是 （ ） A. ( \forall x > 0, x^2 + 1 < 2x ) \quad B. ( \exists x \leq 0, x^2 + 1 < 2x ) C. ( \exists x > 0, x^2 + 1 < 2x ) \quad D. ( \exists x > 0, x^2 + 1 \leq 2x )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是 （ ） A. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad B. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) ) C. ( [2, +\infty) ) \quad D. ( (3, +\infty) )
已知 ( a, b, c \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是 （ ） A. ( a^2 > b^2 ) \quad B. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) \quad C. ( a|c| > b|c| ) \quad D. ( a + c > b + c )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = ) （ ） A. 0 \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3
已知 ( x > 0, y > 0 )，且 ( x + 2y = 2 )，则 ( xy ) 的最大值为 （ ） A. ( \frac{1}{2} ) \quad B. 1 \quad C. ( \frac{3}{2} ) \quad D. 2
设函数 ( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上为偶函数，且在 ( [0, +\infty) ) 上单调递减，则不等式 ( f(2x-1) > f(3) ) 的解集为 （ ） A. ( (-1, 2) ) \quad B. ( (-\infty, -1) \cup (2, +\infty) ) C. ( (-\infty, 2) ) \quad D. ( (-2, 1) )
( x ) 的不等式 ( ax^2 + bx + 2 > 0 ) 的解集为 ( { x | -1 < x < 2 } )，则 ( a + b = ) （ ） A. -2 \quad B. -1 \quad C. 0 \quad D. 1
多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ） A. ( f(x) = |x| )， ( g(t) = \sqrt{t^2} ) B. ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} )， ( g(x) = x + 1 ) C. ( f(x) = \sqrt{x^2} )， ( g(x) = (\sqrt{x})^2 ) D. ( f(x) = x^0 )， ( g(x) = 1 )
下列说法正确的有 （ ） A. “ ( x > 2 ) ” 是 “ ( x > 1 ) ” 的充分不必要条件 B. “ ( x^2 = 1 ) ” 是 “ ( x = 1 ) ” 的必要不充分条件 C. “ ( a = 0 ) ” 是 “ ( ab = 0 ) ” 的充分不必要条件 D. “四边形是菱形”是“四边形是正方形”的必要不充分条件
已知函数 ( f(x) = x + \frac{4}{x} )，则 （ ） A. 函数 ( f(x) ) 在 ( (0, 2] ) 上单调递减 B. 函数 ( f(x) ) 的值域为 ( [4, +\infty) ) C. 当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) ) 的最小值为 4 D. 函数 ( f(x) ) 是奇函数
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
已知集合 ( A = { x | ax^2 - 3x + 2 = 0 } ) 有且仅有两个子集，则实数 ( a ) 的值为__。
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) = x^2 - 2x )，则当 ( x < 0 ) 时， ( f(x) = )__。
为了保护环境，某工厂计划建造一个长方体无盖净水池，容积为 ( 1000 \, m^3 )，深度为 ( 2 \, m )，已知池底每平方米的造价为 200 元，池壁每平方米的造价为 100 元，设池底一边长为 ( x \, m )，则总造价 ( y )（元）( x ) 的函数解析式为__；为使总造价最低，池底的一边长应为__( m )。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（13分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x | 3 \leq x < 7 } )， ( B = { x | 4 < x \leq 10 } )。 （1）求 ( A \cup B )， ( \complement_U (A \cap B) )； （2）若集合 ( C = { x | x > a } )，且 ( B \cap C = \varnothing )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（15分）（1）已知 ( x > 1 )，求 ( y = x + \frac{1}{x-1} ) 的最小值； （2）解关于 ( x ) 的不等式： ( x^2 - (a+1)x + a < 0 )（( a \in \mathbb{R} )）。
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (0, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 4] ) 上的值域。
（17分）某公司生产某种产品的固定成本为 10 万元，每生产一件产品需增加投入 0.5 万元，市场对此产品的年需求量为 5000 件，且销售收入函数为 ( R(x) = \begin{cases} 5x - 0.01x^2, & 0 \leq x \leq 5000 \ 25000, & x > 5000 \end{cases} )（单位：万元），( x ) 是年产量（单位：件）。 （1）把利润 ( L(x) )（万元）表示为年产量 ( x )（件）的函数； （2）当年产量为多少件时，公司所获利润最大？最大利润是多少万元？（利润 = 销售收入 - 总成本）
（17分）已知函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 5 )（( a > 1 )）。 （1）若函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, a] ) 上的最大值为 10，求实数 ( a ) 的值； （2）若函数 ( f(x) ) 在区间 ( (-\infty, 2] ) 上是减函数，且对任意的 ( x_1, x_2 \in [1, a+1] )，总有 ( |f(x_1) - f(x_2)| \leq 8 )，求实数 ( a ) 的取值范围。
2025年高一数学必修一上册综合测试卷（带答案）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题
- A 【解析】 ( \complement_U B = {1, 4} )， ( A \cap (\complement_U B) = {1} )。
- C 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题,并否定结论。
- A 【解析】由 ( x-2 \geq 0 ) 且 ( x-3 \neq 0 ) 得 ( x \geq 2 ) 且 ( x \neq 3 )。
- D 【解析】不等式性质，两边同时加同一个数,不等号方向不变。
- C 【解析】 ( f(0)=0^2+1=1 )， ( f(f(0))=f(1)=1^2+1=2 )。
- A 【解析】 ( x > 0, y > 0 )， ( 2 = x + 2y \geq 2\sqrt{x \cdot 2y} )，即 ( \sqrt{2xy} \leq 1 )， ( xy \leq \frac{1}{2} )，当且仅当 ( x=2y=1 ) 时取等。
- A 【解析】偶函数在 ( (-\infty, 0] ) 上单调递增，由 ( f(2x-1) > f(3) ) 得 ( f(|2x-1|) > f(3) )，因在 ( [0, +\infty) ) 递减，故 ( |2x-1| < 3 )，解得 ( -1 < x < 2 )。
- C 【解析】由解集形式知 ( a < 0 )，且 ( -1, 2 ) 是方程 ( ax^2+bx+2=0 ) 的两根，由韦达定理 ( -1+2=-\frac{b}{a} )， ( (-1)\times 2=\frac{2}{a} )，解得 ( a=-1, b=1 )，故 ( a+b=0 )。
多选题
- AD 【解析】A定义域、对应关系均相同；B定义域不同，( f(x) ) 定义域为 ( {x|x \neq 1} )；C定义域不同，( f(x) ) 定义域为 ( \mathbb{R} )，( g(x) ) 定义域为 ( [0, +\infty) )；D定义域均为 ( {x|x \neq 0} ),且对应关系相同。
- ABD 【解析】C应为充分不必要条件。
- AC 【解析】当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) = x + \frac{4}{x} \geq 4 )，当且仅当 ( x=2 ) 时取等，故B错（值域为 ( (-\infty, -4] \cup [4, +\infty) )），C对，由对勾函数性质知A对，定义域不关于原点对称,故D错。
填空题
- ( 0 ) 或 ( \frac{9}{8} ) 【解析】集合有且仅有两个子集，则集合 ( A ) 中只有一个元素，当 ( a=0 ) 时，方程为 ( -3x+2=0 )，解为 ( x=\frac{2}{3} )，满足；当 ( a \neq 0 ) 时， ( \Delta = 9 - 8a = 0 )，解得 ( a = \frac{9}{8} )。
- ( x^2 + 2x ) 【解析】当 ( x < 0 ) 时， ( -x > 0 )，则 ( f(-x) = (-x)^2 - 2(-x) = x^2 + 2x )，由奇函数性质 ( f(x) = -f(-x) = -x^2 - 2x )。
- ( y = 200 \times \frac{1000}{2} + 100 \times 2 \times (2x + 2 \times \frac{500}{x}) = 100000 + 400(x + \frac{500}{x}) )， ( (x > 0) )； ( 10\sqrt{5} ) 【解析】池底面积 ( S_{底} = \frac{1000}{2} = 500 \, m^2 )，设另一边长为 ( \frac{500}{x} \, m )，总造价 ( y = 200 \times 500 + 100 \times [2 \times (2x) + 2 \times (2 \times \frac{500}{x})] = 100000 + 400(x + \frac{500}{x}) )，由基本不等式， ( x + \frac{500}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{500}{x}} = 20\sqrt{5} )，当且仅当 ( x = \frac{500}{x} ) 即 ( x = 10\sqrt{5} ) 时取等,此时总造价最低。
解答题
解： （1） ( A \cup B = { x | 3 \leq x \leq 10 } )。 ( A \cap B = { x | 4 < x < 7 } )， ( \complement_U (A \cap B) = { x | x \leq 4 \text{ 或 } x \geq 7 } )。 （2）因为 ( B \cap C = \varnothing )，且 ( B = { x | 4 < x \leq 10 } )， ( C = { x | x > a } )， ( a \geq 10 )。 故实数 ( a ) 的取值范围是 ( [10, +\infty) )。
解： （1）因为 ( x > 1 )，( x - 1 > 0 )。 ( y = x + \frac{1}{x-1} = (x-1) + \frac{1}{x-1} + 1 \geq 2\sqrt{(x-1) \cdot \frac{1}{x-1}} + 1 = 3 )， 当且仅当 ( x-1 = \frac{1}{x-1} )，即 ( x = 2 ) 时取等号。 ( y ) 的最小值为 3。 （2）不等式 ( x^2 - (a+1)x + a < 0 ) 可化为 ( (x-1)(x-a) < 0 )。 当 ( a > 1 ) 时，解集为 ( (1, a) )； 当 ( a = 1 ) 时，不等式为 ( (x-1)^2 < 0 )，解集为 ( \varnothing )； 当 ( a < 1 ) 时，解集为 ( (a, 1) )。
解： （1）函数 ( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in (0, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_1 - 1}{x_1 + 1} - \frac{2x_2 - 1}{x_2 + 1} = \frac{(2x_1 - 1)(x_2 + 1) - (2x_2 - 1)(x_1 + 1)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} ) ( = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} )。 因为 ( 0 < x_1 < x_2 )，( x_1 - x_2 < 0 )， ( (x_1+1)(x_2+1) > 0 )， ( f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x2) )。 ( f(x) ) 在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增。 （2）由（1）知， ( f(x) ) 在 ( [1, 4] ) 上单调递增。 ( f(x){min} = f(1) = \frac{2 \times 1 - 1}{1 + 1} = \frac{1}{2} )， ( f(x)_{max} = f(4) = \frac{2 \times 4 - 1}{4 + 1} = \frac{7}{5}