（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
- 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。
- 所有答案必须写在答题卡上,写在试卷上无效。
- 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
下列函数中,y关于x的二次函数是（ ） A. ( y = 2x - 1 ) \quad B. ( y = \frac{1}{x^2} ) \quad C. ( y = x^2 + 3x ) \quad D. ( y = (x-1)^2 - x^2 )
已知( \odot O )的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与( \odot O )的位置关系是（ ） A. 相交 \quad B. 相切 \quad C. 相离 \quad D. 无法确定
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则sinA的值为（ ） A. ( \frac{3}{5} ) \quad B. ( \frac{4}{5} ) \quad C. ( \frac{3}{4} ) \quad D. ( \frac{4}{3} )
将抛物线( y = x^2 )向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得抛物线的表达式是（ ） A. ( y = (x-2)^2 + 3 ) \quad B. ( y = (x+2)^2 + 3 ) \quad C. ( y = (x-2)^2 - 3 ) \quad D. ( y = (x+2)^2 - 3 )
如图,AB是( \odot O )的直径，∠CAB=25°，则∠ADC的度数为（ ） A. 25° \quad B. 50° \quad C. 65° \quad D. 75° （此处应有图，图中显示：AB为直径，C、D为圆上两点，点C在弧AB上，点D在弧AB另一侧，连接AC、BC、AD、CD，∠CAB为已知角）
若关于x的一元二次方程( (k-1)x^2 + 2x - 2 = 0 )有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. ( k > \frac{1}{2} ) \quad B. ( k \ge \frac{1}{2} ) \quad C. ( k > \frac{1}{2} ) 且 ( k \ne 1 ) \quad D. ( k \ge \frac{1}{2} ) 且 ( k \ne 1 )
在平面直角坐标系中,已知点A(2, 3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为（ ） A. (-2, 3) \quad B. (2, -3) \quad C. (-2, -3) \quad D. (3, 2)
一个圆锥的侧面展开图是半径为6,圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. 1 \quad B. 2 \quad C. 3 \quad D. 4
如图,在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=2，则( \frac{S{\triangle ADE}}{S{\triangle ABC}} )的值为（ ） A. ( \frac{9}{25} ) \quad B. ( \frac{3}{5} ) \quad C. ( \frac{9}{16} ) \quad D. ( \frac{3}{4} ) （此处应有图，图中显示：△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE平行于BC）
二次函数( y = ax^2 + bx + c ) (a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③a+b+c<0；④b^2-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A. 1个 \quad B. 2个 \quad C. 3个 \quad D. 4个 （此处应有图，图中显示：抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，与x轴有两个交点，与y轴交于正半轴）
填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
已知( \frac{a}{b} = \frac{2}{3} )，则( \frac{a+b}{b} ) =__。
若( \alpha )为锐角，且( \sin\alpha = \frac{1}{2} )，则( \alpha ) =__度。
设( x_1, x_2 )是方程( x^2 - 4x + 2 = 0 )的两个根，则( x_1 + x_2 - x_1x_2 )的值为__。
如图,四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠BCD=__度。 （此处应有图，图中显示：圆内接四边形ABCD，顶点按顺序排列，圆心O，连接OB、OD）
如图,在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则tan∠AOD=__。 （此处应有图，图中显示：一个4×4的网格，标出点A、B、C、D的位置，连接AB和CD相交于O）
在平面直角坐标系中,已知二次函数( y = -x^2 + 2x + 3 )，当( -1 \le x \le a )时，函数的最大值为4，则实数a的取值范围是__。
解答题（本大题共8小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（8分）计算：( (-1)^{2025} + \sqrt{8} \cdot \sin45° - |2-\sqrt{3}| + (\pi - 3)^0 )。
（8分）解方程：( 2x^2 - 4x - 1 = 0 )（用公式法）。
（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E。 （1）求证：△ADE∽△ABC； （2）若AC=8，BC=6，AD=5，求DE的长。 （此处应有图，图中显示：Rt△ABC，∠C=90°，点D在AC上，DE垂直AB于E）
（10分）已知关于x的一元二次方程( x^2 - (m+2)x + 2m = 0 )。 （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若该方程的一个根为3，求m的值和方程的另一个根。
（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD=∠A。 （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为3，tan∠BCD=( \frac{1}{3} )，求BD的长。 （此处应有图，图中显示：⊙O，AB为直径，点C在圆上，连接OC、BC，点D在AB延长线上，连接CD，∠BCD=∠A）
（10分）某商场销售一种商品，进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可销售500件，经市场调查发现：如果每件商品每降价1元，每天可多销售20件。 （1）若想每天获得8000元的利润，且让顾客得到实惠，每件商品应降价多少元？ （2）求该商品每天的销售利润y（元）与每件降价x（元）之间的函数关系式，并求出该商品每天的最大销售利润。
（12分）【问题背景】 如图1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，则( \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} )。 【尝试应用】 如图2，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，AE与BD相交于点F，且BE:EC=2:1。 （1）求BF:FD的值； （2）若△BEF的面积为4，求平行四边形ABCD的面积。 【拓展延伸】 如图3，在△ABC中，点D在边BC的延长线上，E是边AC上一点，且CE=CD，连接DE并延长交AB的延长线于点F，若AB:BC=3:2，求( \frac{AF}{BF} )的值。 （此处应有三个图，分别对应问题背景、尝试应用和拓展延伸的情景）
（14分）如图，抛物线( y = ax^2 + bx + 3 ) (a≠0)与x轴交于A(-1, 0)，B(3, 0)两点，与y轴交于点C。 （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是抛物线上一动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m。 ① 当点P在直线BC下方的抛物线上时，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段PE的最大值； ② 连接AP，CP，是否存在点P，使得∠APC=∠ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 （此处应有图，图中显示：平面直角坐标系，抛物线经过A(-1,0)，B(3,0)，C(0,3)，连接BC）
试卷结束
2025年初三年级数学学科期中考试试卷 参考答案及评分标准
选择题
- C \quad 2. A \quad 3. B \quad 4. A \quad 5. C
- C \quad 7. C \quad 8. B \quad 9. A \quad 10. B
填空题11. ( \frac{5}{3} ) \quad 12. 30 \quad 13. 2 \quad 14. 130 \quad 15. 2 \quad 16. ( a \ge 1 )
解答题17. 解：原式=( -1 + 2\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} - (2-\sqrt{3}) + 1 ) ………… (4分) =( -1 + 2 - 2 + \sqrt{3} + 1 ) ………… (6分) =( \sqrt{3} ) ………… (8分)
解：∵ a=2，b=-4，c=-1， ∴ Δ=( (-4)^2 - 4\times2\times(-1) = 16+8=24 > 0 ) ………… (2分) ∴ ( x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2\times2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2} ) ………… (6分) ∴ ( x_1 = \frac{2+\sqrt{6}}{2}, x_2 = \frac{2-\sqrt{6}}{2} ) ………… (8分)
（1）证明：∵ DE⊥AB，∠C=90°， ∴ ∠AED = ∠C = 90°， ………… (1分) 又∵ ∠A = ∠A， ∴ △ADE ∽ △ABC。 ………… (4分) （2）解：在Rt△ABC中，AC=8，BC=6， 由勾股定理得：( AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{8^2+6^2} = 10 )。 ………… (5分) 由（1）知△ADE∽△ABC， ∴ ( \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} )，即 ( \frac{DE}{6} = \frac{5}{10} )， ………… (7分) ∴ ( DE = 3 )。 ………… (8分)
（1）证明：Δ = ( [-(m+2)]^2 - 4 \times 1 \times 2m = m^2+4m+4-8m = m^2-4m+4 = (m-2)^2 )。 ∵ ( (m-2)^2 \ge 0 )， ∴ 无论m取何值，方程总有实数根。 ………… (5分) （2）解：将x=3代入方程得：( 9 - 3(m+2) + 2m = 0 )， 解得：m=3。 ………… (7分) 将m=3代入方程得：( x^2 - 5x + 6 = 0 )， 解得：( x_1=3, x_2=2 )。 ∴ 方程的另一个根为2。 ………… (10分)
（1）证明：连接OC。 ∵ AB是直径，∴ ∠ACB=90°，∴ ∠A+∠ABC=90°。 ∵ OB=OC，∴ ∠ABC=∠OCB。 又∵ ∠BCD=∠A，∴ ∠OCB+∠BCD=90°，即∠OCD=90°。 ∴ OC⊥CD。 ∴ CD是⊙O的切线。 ………… (5分) （2）解：在Rt△OCD中，OC=3，tan∠BCD=tan∠A=( \frac{1}{3} )， ∴ 在Rt△ABC中，tanA=( \frac{BC}{AC} = \frac{1}{3} )，设BC=k，则AC=3k。 由勾股定理AB=( \sqrt{10}k = 6 )，∴ ( k = \frac{6}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{5} )。 ∴ AC=( \frac{9\sqrt{10}}{5} )，BC=( \frac{3\sqrt{10}}{5} )。 由（1）及∠D=∠D，得△OCD∽△CBD，∴ ( \frac{OC}{BC} = \frac{OD}{BD} )。 设BD=x，则OD=3+x。 ∴ ( \frac{3}{\frac{3\sqrt{10}}{5}} = \frac{3+x}{x} )，解得 ( x = \frac{3}{2} )。 ∴ BD的长为( \frac{3}{2} )。 ………… (10分) （注：解法不唯一）
解：（1）设每件商品降价x元。 根据题意得：( (40-x-30)(500+20x) = 8000 )。 整理得：( x^2 - 15x + 50 = 0 )。 解得：( x_1=5, x_2=10 )。 ∵ 要让顾客得到实惠，∴ x=10。 答：每件商品应降价10元。 ………… (4分) （2）由题意得：( y = (40-x-30)(500+20x) = (10-x)(500+20x) = -20x^2 + 200x + 5000 )。 即 ( y = -20(x-5)^2 + 5500 )。 ∵ -20<0， ∴ 当x=5时，y取得最大值，最大值为5500元。 答：函数关系式为( y = -20x^2+200x+5000 )，该商品每天的最大销售利润为5500元。 ………… (10分)
解：【尝试应用】 （1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD=BC。 ∵ BE:EC=2:1，∴ 设BE=2k，EC=k，则BC=AD=3k。 ∵ AD∥BC，∴ △BEF∽△DAF。 ∴ ( \frac{BF}{FD} = \frac{BE}{AD} = \frac{2k}{3k} = \frac{2}{3} )。 ………… (4分) （2）∵ △BEF∽△DAF，且相似比为2:3， ∴ ( \frac{S{\triangle BEF}}{S{\triangle DAF}} = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9} )。 ∵ S△BEF=4，∴ S△DAF=9。 又∵ △ABF与△ADF等高，且BF:FD=2:3， ∴ ( \frac{S{\triangle ABF}}{S{\triangle ADF}} = \frac{2}{3} )，∴ S△ABF=6。 ∴ S△ABD = S△ABF + S△ADF = 6+9=15。 ∴ S平行四边形ABCD = 2S△ABD = 30。 ………… (8分) 【拓展延伸】 （3）过点C作CG∥AB交DF于点G。 ∵ CG∥AB，∴ △FCG∽△FBD，∴ ( \frac{CF}{BF} = \frac{CG}{BD} )。 ∵ CE=CD，∴ ∠CED=∠CDE。 又∵ CG∥AB，∴ ∠CGE=∠F。 而∠CED=∠CGE+∠ECG，∠CDE=∠F+∠B， ∴ ∠ECG=∠B。 又∵ ∠EBC=∠GCE，∴ △BCE∽△CGE。 ∴ ( \frac{BC}{