（满分：120分，考试时间：100分钟）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 等边三角形 C. 菱形 D. 等腰梯形
关于x的一元二次方程 (x^2 - 2x + m = 0) 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. m > 1 B. m < 1 C. m ≥ 1 D. m ≤ 1
将抛物线 (y = 2x^2) 向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式是（ ） A. (y = 2(x-3)^2 + 1) B. (y = 2(x+3)^2 + 1) C. (y = 2(x-3)^2 - 1) D. (y = 2(x+3)^2 - 1)
在半径为6cm的圆中,120°的圆心角所对的弧长是（ ） A. 2π cm B. 4π cm C. 6π cm D. 12π cm
一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球,从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ） A. (\frac{1}{5}) B. (\frac{2}{5}) C. (\frac{3}{5}) D. (\frac{4}{5})
如图,AB是⊙O的直径，∠CAB=25°，则∠ADC的度数为（ ） A. 25° B. 50° C. 65° D. 75°
若点A(-2, y₁), B(1, y₂), C(3, y₃)都在反比例函数 (y = -\frac{6}{x}) 的图象上，则y₁, y₂, y₃的大小关系是（ ） A. y₁ < y₂ < y₃ B. y₃ < y₂ < y₁ C. y₂ < y₃ < y₁ D. y₁ < y₃ < y₂
如图,在△ABC中，DE∥BC，AD=3，DB=2，DE=4.5，则BC的长为（ ） A. 7.5 B. 9 C. 10.5 D. 13.5
某商品经过两次连续降价,每件售价由原来的100元降到了81元，设平均每次降价的百分率为x，则所列方程正确的是（ ） A. 100(1+x)² = 81 B. 100(1-x)² = 81 C. 81(1+x)² = 100 D. 100(1-2x) = 81
二次函数 (y = ax^2 + bx + c) (a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③a+b+c<0；④b²-4ac>0，其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 已知关于x的方程 (x^2 + kx - 6 = 0) 的一个根是2，则它的另一个根是__。 12. 正六边形的中心角为__度。 13. 在平面直角坐标系中，点P(-3, 4)关于原点对称的点的坐标是__。 14. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为__。 15. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，AD=4，BD=9，则CD的长为__。 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以点A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，以点C为圆心，CD长为半径画弧交BC的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是__。
解答题（本大题共9小题，共72分）17. （6分）解方程：(x^2 - 4x - 5 = 0)。
（6分）已知关于x的一元二次方程 (x^2 + (2m+1)x + m^2 - 1 = 0) 有两个实数根，求m的取值范围。
（6分）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，将△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°，得到△A'B'C'，请画出△A'B'C'。
（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC，若∠CAB=30°，AE=2cm，求弦CD的长度。
（8分）一个不透明的口袋里装有分别标有数字-2，-1，1，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，先从中任意摸出一个小球，将球上的数字记为a；放回袋中搅匀，再从中任意摸出一个小球，将球上的数字记为b。 （1）请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果； （2）求点(a, b)在反比例函数 (y = \frac{2}{x}) 图象上的概率。
（9分）如图，一次函数 (y = kx + b) 的图象与反比例函数 (y = \frac{m}{x}) 的图象相交于A(-2, 3)，B(3, n)两点。 （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出不等式 (kx + b > \frac{m}{x}) 的解集。
（9分）某商场销售一种商品，进价为每件20元，售价为每件30元时，每天可售出500件，市场调查发现：在每件30元销售价格的基础上，售价每上涨1元，日销售量就减少20件，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），日销售利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式； （2）每件商品的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
（10分）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交BC于点D，E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F，且∠ACB=∠BAE。 （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若sin∠BAE = (\frac{\sqrt{5}}{5})，BD=6，求⊙O的半径。
（10分）如图，抛物线 (y = ax^2 + bx + 3) (a≠0)与x轴交于A(-1, 0)，B(3, 0)两点，与y轴交于点C。 （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QAC是直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
2025年初三上册数学人教版综合测试卷（带答案）
选择题
C 2. B 3. A 4. B 5. C 6. C 7. B 8. A 9. B 10. C
填空题11. -3 12. 60 13. (3, -4) 14. 15π 15. 6 16. (12 - \frac{25\pi}{4})
解答题17. 解：因式分解得：(x-5)(x+1)=0，解得：x₁=5，x₂=-1。 18. 解：由题意得：Δ = (2m+1)² - 4(m²-1) ≥ 0，即4m+5 ≥ 0，解得：m ≥ -5/4。 19. 解：作图略（按要求旋转90°即可）。 20. 解：连接OC。∵AB是直径，CD⊥AB，∴CE=DE。∵∠CAB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△COE中，OE=OA-AE=OC-2。∵cos∠COE=OE/OC，∴cos60°=(OC-2)/OC，解得OC=4cm，在Rt△COE中，sin60°=CE/OC，∴CE=(2\sqrt{3})cm。∴CD=2CE=(4\sqrt{3})cm。 21. 解：（1）列表略，共有16种等可能结果。 （2）点(a, b)在(y=2/x)上，则ab=2，满足条件的结果有：(1,2)，(2,1)，(-1,-2)，(-2,-1)，共4种。∴P=4/16=1/4。 22. 解：（1）将A(-2,3)代入(y=m/x)，得m=-6，∴反比例函数为(y=-6/x)，将B(3,n)代入得n=-2，∴B(3,-2)，将A、B代入(y=kx+b)，解得k=-1，b=1。∴一次函数为(y=-x+1)。 （2）由图象得：不等式解集为x<-2或0<x<3。 23. 解：（1）y = (30+x-20)(500-20x) = (10+x)(500-20x) = -20x² + 300x + 5000 (x为正整数)。 （2）y = -20(x-7.5)² + 6125。∵x为正整数，∴当x=7或8时，y最大，当x=7时，售价37元，利润y=6120元；当x=8时，售价38元，利润y=6120元。∴售价定为37或38元时，最大利润为6120元。 24. 解：（1）证明：连接AD。∵AB是直径，∴∠ADB=90°。∵E是弧BD中点，∴∠BAE=∠DAE。∵∠ACB=∠BAE，∴∠ACB=∠DAE。∵∠B+∠DAE=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠BAC=90°，即AB⊥AC。∴AC是⊙O的切线。 （2）∵sin∠BAE=√5/5，设EF=√5k，AF=5k，则AE=(2\sqrt{5}k)，由（1）及△ABF∽△CAF可解得AB=10，即半径为5。 25. 解：（1）将A(-1,0)，B(3,0)代入得：a-b+3=0，9a+3b+3=0，解得a=-1，b=2。∴抛物线为(y=-x^2+2x+3)。 （2）对称轴为直线x=1，点A关于对称轴的对称点为B(3,0)，连接BC交对称轴于点P，此时PA+PC最小，△PAC周长最小，设BC直线为y=kx+3，将B(3,0)代入得k=-1，∴BC: y=-x+3，当x=1时，y=2。∴P(1,2)。 （3）存在，设Q(1, t)，A(-1,0)，C(0,3)，计算QA²，QC²，AC²，分三种情况：①∠QAC=90°，则QA²+AC²=QC²；②∠QCA=90°，则QC²+AC²=QA²；③∠AQC=90°，则QA²+QC²=AC²，分别解得t的值：t=1或t=4或t=(3±√17)/2。∴Q点坐标为(1,1)，(1,4)，(1, (3+√17)/2)，(1, (3-√17)/2)。