选择题（每题5分，共40分）
已知集合 ( A = { x | -2 < x < 3 } )，( B = { x | x \ge 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ）
A. ( { x | 0 \le x < 3 } )
B. ( { x | x > -2 } )
C. ( { x | x \ge 0 } )
D. ( { x | -2 < x \le 0 } )函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域为（ ）
A. ( [2,3) \cup (3,+\infty) )
B. ( (2,+\infty) )
C. ( [2,+\infty) )
D. ( (3,+\infty) )若 ( a > b > 0 )，则下列不等式成立的是（ ）
A. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} )
B. ( a^2 < b^2 )
C. ( \sqrt{a} > \sqrt{b} )
D. ( |a| < |b| )已知函数 ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ) 在区间 ( [0, m] ) 上有最小值 (-1)，则 ( m ) 的取值范围是（ ）
A. ( [1, 2] )
B. ( (0, 2] )
C. ( [1, +\infty) )
D. ( [0, 2] )若 ( \log_2 a = 3 )，( \log_2 b = 2 )，则 ( \log_2 (a^2 b) = )（ ）
A. 7
B. 8
C. 10
D. 12下列函数中,既是奇函数又在 ( (0, +\infty) ) 上单调递增的是（ ）
A. ( y = x^3 )
B. ( y = \sqrt{x} )
C. ( y = 2^x )
D. ( y = \log_2 x )已知 ( \alpha ) 是第二象限角，( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，则 ( \cos \alpha = )（ ）
A. ( \frac{4}{5} )
B. ( -\frac{4}{5} )
C. ( \frac{3}{4} )
D. ( -\frac{3}{4} )若 ( x > 0 )，( y > 0 )，且 ( x + 2y = 4 )，则 ( xy ) 的最大值为（ ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
填空题（每题5分，共20分）
9. 计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{2}{3}} + \log_3 9 = )__．
若函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 3 ) 在 ( (-\infty, 2] ) 上单调递减，则 ( a ) 的取值范围是__．
已知 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则 ( f(-1) = )__．
若方程 ( x^2 - 2x + k = 0 ) 有两个不相等的实数根，则实数 ( k ) 的取值范围是__．
解答题（共40分）
13. （10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x | x^2 - 4x + 3 \le 0 } )，( B = { x | 2 \le x \le 4 } )．
（1）求 ( A \cup B )；
（2）求 ( \complement_U (A \cap B) )．
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x-1}{x+1} )．
（1）判断 ( f(x) ) 在区间 ( [0, +\infty) ) 上的单调性，并证明；
（2）求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [1, 3] ) 上的值域．（15分）已知二次函数 ( f(x) = ax^2 + bx + 1 )（( a \neq 0 )）．
（1）若 ( f(-1) = 0 )，且方程 ( f(x) = 0 ) 有两个相等的实数根，求 ( f(x) ) 的解析式；
（2）若 ( a > 0 )，函数 ( f(x) ) 在区间 ( [-2, 2] ) 上的最大值为 9，求 ( a ) 的值．
2025年高一数学上学期综合测试卷（带答案）
选择题答案
- A
- A
- C
- A
- B（解析：( \log_2 (a^2 b) = 2\log_2 a + \log_2 b = 2 \times 3 + 2 = 8 )）
- A
- B
- A（解析：( xy = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2y \le \frac{1}{2} \left( \frac{x+2y}{2} \right)^2 = 2 )）
填空题答案
9. ( 11 )（解析：( (27^{-1})^{-\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} = 9 )，( \log_3 9 = 2 )）
10. ( [2, +\infty) )（解析：对称轴 ( x = a \ge 2 )）
11. ( -1 )（解析：( f(-1) = -f(1) = -(1-2) = -1 )）
12. ( (-\infty, 1) )（解析：( \Delta = 4 - 4k > 0 \Rightarrow k < 1 )）
解答题答案
13.
（1）( A = [1, 3] )，( B = [2, 4] )，( A \cup B = [1, 4] )．
（2）( A \cap B = [2, 3] )，( \complement_U (A \cap B) = (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) )．
（1）单调递增．证明：设 ( 0 \le x_1 < x_2 )，
( f(x_2) - f(x_1) = \frac{2x_2-1}{x_2+1} - \frac{2x_1-1}{x_1+1} = \frac{3(x_2-x_1)}{(x_1+1)(x2+1)} > 0 )．
（2）由单调性知 ( f(x){\text{min}} = f(1) = \frac{1}{2} )，( f(x)_{\text{max}} = f(3) = \frac{5}{4} )，值域为 ( \left[ \frac{1}{2}, \frac{5}{4} \right] )．（1）由 ( f(-1) = a - b + 1 = 0 ) 得 ( b = a + 1 )．
又 ( \Delta = b^2 - 4a = 0 )，联立解得 ( a = 1 )，( b = 2 )，
故 ( f(x) = x^2 + 2x + 1 )．
（2）对称轴 ( x = -\frac{b}{2a} < 0 )，
当 ( -\frac{b}{2a} \le 0 ) 时，最大值在 ( x = 2 ) 处取得，
( f(2) = 4a + 2b + 1 = 9 )，结合 ( b = -4a )（由对称轴位置可设），
解得 ( a = 2 )．