- 本试卷共4页,满分150分，考试时间120分钟。
- 答题前,请务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置，答案均需写在答题卡上，写在试卷上无效。
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知全集 ( U = { x \in \mathbb{N}^* | x \leq 6 } )，集合 ( A = {1, 3, 5} )，( B = {2, 3, 4} )，则 ( A \cap (\complement_U B) = )（ ） A. ( {1, 5} ) \quad B. ( {1, 3, 5} ) \quad C. ( {1, 2, 5} ) \quad D. ( {1, 3, 4, 5} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x^2 + 2x \geq 0 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x^2 + 2x < 0 ) \quad B. ( \exists x > 0, \, x^2 + 2x < 0 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x^2 + 2x < 0 ) \quad D. ( \forall x \leq 0, \, x^2 + 2x \geq 0 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ） A. ( [2, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad B. ( (2, 3) \cup (3, +\infty) ) \quad C. ( [2, +\infty) ) \quad D. ( (3, +\infty) )
已知 ( a, b \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) \quad B. ( a^2 > b^2 ) \quad C. ( \ln(a-b) > 0 ) \quad D. ( 2^a > 2^b )
设 ( a = 0.8^{0.7} )， ( b = 0.7^{0.8} )， ( c = 1.1^{0.8} )，则 ( a, b, c ) 的大小关系为（ ） A. ( b < a < c ) \quad B. ( a < b < c ) \quad C. ( c < b < a ) \quad D. ( b < c < a )
已知函数 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) = x^2 - 2x )，则 ( f(-1) = )（ ） A. -1 \quad B. 1 \quad C. -3 \quad D. 3
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} (a-2)x, & x \geq 2 \ \left(\frac{1}{2}\right)^x - 1, & x < 2 \end{cases} ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的减函数，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( (-\infty, 2) ) \quad B. ( \left(-\infty, \frac{13}{8}\right] ) \quad C. ( (0, 2) ) \quad D. ( \left[\frac{13}{8}, 2\right) )
若正实数 ( x, y ) 满足 ( x + y = 1 )，则 ( \frac{4}{x} + \frac{1}{y} ) 的最小值为（ ） A. 6 \quad B. 8 \quad C. 9 \quad D. 10
多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
下列各组函数中,表示同一函数的是（ ） A. ( f(x) = |x| )， ( g(t) = \sqrt{t^2} ) \quad B. ( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} )， ( g(x) = x + 1 ) C. ( f(x) = \sqrt{x^2} )， ( g(x) = (\sqrt{x})^2 ) \quad D. ( f(x) = x^0 )， ( g(x) = 1 )
关于函数 ( f(x) = |x-1| + |x+2| )，下列结论正确的是（ ） A. 其图象关于直线 ( x = -\frac{1}{2} ) 对称 \quad B. 在 ( [-2, 1] ) 上单调递减 C. 值域为 ( [3, +\infty) ) \quad D. 方程 ( f(x) = 5 ) 有两个不相等的实数根
已知函数 ( f(x) ) 的定义域为 ( \mathbb{R} )，且满足 ( f(x+y) = f(x) + f(y) + 2xy )， ( f(1) = 2 )，则（ ） A. ( f(0) = 0 ) \quad B. ( f(2) = 6 ) C. ( f(x) ) 为奇函数 \quad D. ( \sum_{k=1}^{n} f(k) = n(n+1) )（( n \in \mathbb{N}^* )）
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 2m - 2) \cdot x^{m-1} ) 的图象关于原点对称，则 ( m = )__。
已知集合 ( A = { x | ax^2 - 3x + 2 = 0 } ) 有且仅有两个子集，则实数 ( a = )__。
为了保护水资源,提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表： | 每户每月用水量 | 水价 | | :--- | :--- | | 不超过 ( 12 \text{m}^3 ) 的部分 | 3元/( \text{m}^3 ) | | 超过 ( 12 \text{m}^3 ) 但不超过 ( 18 \text{m}^3 ) 的部分 | 6元/( \text{m}^3 ) | | 超过 ( 18 \text{m}^3 ) 的部分 | 9元/( \text{m}^3 ) | 若某户居民本月交纳的水费为 78 元，则此户居民本月的用水量为__( \text{m}^3 )。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）已知集合 ( A = { x | -2 \leq x \leq 5 } )， ( B = { x | m+1 \leq x \leq 2m-1 } )。 （1）若 ( m = 4 )，求 ( A \cup B )， ( (\complement_{\mathbb{R}} A) \cap B )； （2）若 ( B \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（15分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； （2）解关于 ( x ) 的不等式 ( f(2x^2) > f(x+2) )。
（15分）已知函数 ( f(x) = \log_a (2x - 1) + 2 ) （ ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 ) ）的图象恒过定点 ( P )，且点 ( P ) 在函数 ( g(x) = x^b ) 的图象上。 （1）求实数 ( b ) 的值； （2）若关于 ( x ) 的方程 ( f(x) - \log_a (x+1) = 3 ) 有两个不等的实数根，求实数 ( a ) 的取值范围。
（17分）某企业生产一款新产品，其固定成本为 10 万元，每生产一件产品，成本增加 100 元，经市场调研，该产品销量（单位：件）与单价 ( x )（单位：元， ( 200 \leq x \leq 500 ) ）满足关系： ( Q = 2000 - 4x )。 （1）将企业生产该产品的利润 ( y )（单位：万元）表示为单价 ( x ) 的函数； （2）当单价 ( x ) 定为多少时，企业利润最大？最大利润是多少万元？（利润 = 销售额 - 总成本）
（17分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) ) 满足：对任意实数 ( x, y )，都有 ( f(x+y) + f(x-y) = 2f(x)f(y) )，且 ( f(0) \neq 0 )。 （1）求 ( f(0) ) 的值； （2）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性，并证明你的结论； （3）若 ( f(1) = \frac{1}{2} )，且当 ( x > 0 ) 时， ( f(x) > 0 )，解不等式 ( f(2x) + f(x-1) < 1 )。
2025年高一数学新教材必修一综合测试卷（电子版适用）参考答案
单项选择题
A \quad 2. B \quad 3. A \quad 4. D \quad 5. A \quad 6. B \quad 7. B \quad 8. C
多项选择题9. AD \quad 10. AC \quad 11. ABD
填空题12. -1 \quad 13. 0 或 ( \frac{9}{8} ) \quad 14. 17
解答题15.解： （1）当 ( m = 4 ) 时， ( B = { x | 5 \leq x \leq 7 } )。 ( A \cup B = { x | -2 \leq x \leq 7 } )。 ( \complement{\mathbb{R}} A = { x | x < -2 \text{ 或 } x > 5 } )， ( (\complement{\mathbb{R}} A) \cap B = { x | 5 < x \leq 7 } )。
（2）①当 ( B = \varnothing ) 时， ( m+1 > 2m-1 )，解得 ( m < 2 )。 ②当 ( B \neq \varnothing ) 时，有 ( \begin{cases} m+1 \leq 2m-1 \ m+1 \geq -2 \ 2m-1 \leq 5 \end{cases} )，解得 ( 2 \leq m \leq 3 )。 综上，实数 ( m ) 的取值范围是 ( (-\infty, 3] )。
- 解： （1）函数 ( f(x) ) 在 ( (1, +\infty) ) 上单调递增。 证明：任取 ( x_1, x_2 \in (1, +\infty) )，且 ( x_1 < x_2 )。 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{2x_1 - 1}{x_1 + 1} - \frac{2x_2 - 1}{x_2 + 1} = \frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1+1)(x_2+1)} )。 因为 ( x_1, x_2 > 1 )，( x_1+1 > 0, x_2+1 > 0 )，又 ( x_1 - x_2 < 0 )， ( f(x_1) - f(x_2) < 0 )，即 ( f(x_1) < f(x_2) )。 故 ( f(x) ) 在 ( (1, +\infty) ) 上单调递增。
（2）易知函数 ( f(x) = 2 - \frac{3}{x+1} ) 在定义域 ( (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty) ) 上单调递增。 由 ( f(2x^2) > f(x+2) ) 可得： ( \begin{cases} 2x^2 > x+2 \ 2x^2 \neq -1 \ x+2 \neq -1 \end{cases} ) （单调性及定义域要求） 即 ( 2x^2 - x - 2 > 0 )，解得 ( x < \frac{1-\sqrt{17}}{4} ) 或 ( x > \frac{1+\sqrt{17}}{4} )。 又 ( x \neq -\frac{1}{2} ) 且 ( x \neq -3 )。 故原不等式的解集为 ( (-\infty, -3) \cup (-3, \frac{1-\sqrt{17}}{4}) \cup (\frac{1+\sqrt{17}}{4}, +\infty) )。
- 解： （1）令 ( 2x - 1 = 1 )，得 ( x = 1 )，则 ( f(1) = \log_a 1 + 2 = 2 )，所以定点 ( P(1, 2) )。 代入 ( g(x) = x^b )，得 ( 2 = 1^b )，( b = 0 )。
（2）方程 ( f(x) - \log_a (x+1) = 3 ) 即 ( \log_a (2x-1) + 2 - \log_a (x+1) = 3 )， 整理得 ( \log_a \frac{2x-1}{x+1} = 1 )。 ( \frac{2x-1}{x+1} = a ) （ ( a > 0, a \neq 1 ) ）。 即 ( 2x - 1 = a(x+1) )， ( (2-a)x = a+1 )。 ①当 ( a = 2 ) 时，方程无解。 ②当 ( a \neq 2 ) 时， ( x = \frac{a+1}{2-a} )。 要使原方程有两个不等的实数根，需满足： ( \begin{cases} a > 0, a \neq 1, a \neq 2 \ \frac{a+1}{2-a} > \frac{1}{2} \quad (\text{真数 } 2x-1 > 0) \ \frac{a+1}{2-a} > -1 \quad (\text{真数 } x+1 > 0) \end{cases} ) 解不等式组得 ( 0 < a < 1 ) 或 ( 1 < a < 2 )。 综上，实数 ( a ) 的取值范围是 ( (0, 1) \cup (1, 2) )。
- 解： （1）销售额为 ( x \cdot Q = x(2000 - 4x) ) 元。 总成本为 ( 100000 + 100Q = 100000 + 100(2000 - 4x) ) 元。 利润 ( y )（万元）为： ( y = [x(2000 - 4x) - 100000 - 100(2000 - 4x)] / 10000 ) ( = \frac{-4x^2 + 2400x - 300000}{10000} ) ( = -\frac{1}{2500}x^2 + \frac{6}{25}x - 30 )， ( x \in [200, 500] )。
（2）( y = -\frac{1}{2500}(x^2 - 2400x) - 30 = -\frac{1}{2500}[(x - 1200)^2 - 1440000] - 30 )。 因为 ( x \in [200, 500] )，且对称轴 ( x = 1200 ) 不在定义域内， 函数 ( y ) 在 ( [200, 500] ) 上单调递增， 所以当 ( x = 500 ) 时， ( y_{\text{max}} = -\frac{1}{2500} \times (500 - 1200)^2 + \frac{1440000}{2500} - 30 = 50 )。 答：当单价定为 500 元时，企业利润最大，最大利润为 50 万元。
- 解： （1）令 ( x = y = 0 )，得 ( f(0) + f(0) = 2[f(0)]^2 )，即 ( 2f(0) = 2[f(0)]^2 )。 因为 ( f(0) \neq 0 )，( f(0) = 1 )。
（2）函数 ( f(x) ) 是偶函数。 证明：令 ( x = 0