高二上学期数学期末考试试卷（2025）

（考试时间：120分钟 满分：150分）

选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1. 已知集合 ( A = { x \mid x^2 - 3x + 2 = 0 } )，( B = { x \mid 0 < x < 5, x \in \mathbb{N} } )，则 ( A \cap B = )（ ）
   A. ({1, 2})
   B. ({1})
   C. ({2})
   D. ({1, 2, 3})

2. 复数 ( z = \frac{2+i}{1-i} ) 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
   A. 第一象限
   B. 第二象限
   C. 第三象限
   D. 第四象限

3. 已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (m, -1) )，若 ( \vec{a} \perp \vec{b} )，则实数 ( m = )（ ）
   A. 2
   B. -2
   C. (\frac{1}{2})
   D. (-\frac{1}{2})

4. 函数 ( f(x) = \ln(x+1) + \sqrt{4-x} ) 的定义域为（ ）
   A. ((-1, 4])
   B. ([-1, 4])
   C. ((-1, 4))
   D. ([-1, 4))

5. 在等差数列 ({a_n}) 中，( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( a_5 = )（ ）
   A. 5
   B. 6
   C. 8
   D. 10

6. 已知角 (\alpha) 的终边经过点 ( P(-3, 4) )，则 ( \sin 2\alpha = )（ ）
   A. (-\frac{24}{25})
   B. (-\frac{12}{25})
   C. (\frac{12}{25})
   D. (\frac{24}{25})

7. 直线 ( l: y = kx + 1 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0 ) 相切，则实数 ( k = )（ ）
   A. 0
   B. (\frac{4}{3})
   C. 0 或 (\frac{4}{3})
   D. 0 或 (-\frac{4}{3})

8. 已知函数 ( f(x) = \begin{cases} e^x, & x \leq 0 \ -x^2 + 2x, & x > 0 \end{cases} )，若方程 ( f(x) = a ) 有三个不相等的实数根，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ）
   A. ((0, 1])
   B. ((0, 1))
   C. ([0, 1])
   D. ((1, +\infty))

多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）

9. 下列说法正确的是（ ）
   A. 命题“若 ( x > 2 )，则 ( x^2 > 4 )”的逆否命题是真命题
   B. “( a > b )”是“( a^2 > b^2 )”的充分不必要条件
   C. 若 ( p \land q ) 是假命题，则 ( p, q ) 至少有一个是假命题
   D. 函数 ( f(x) = x^3 ) 在其定义域内既是奇函数又是增函数

10. 已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \varphi) (\omega > 0, |\varphi| < \frac{\pi}{2}) ) 的部分图象如图所示，则（ ）
    （假设图：一个正弦型曲线，标出关键点）
    A. ( \omega = 2 )
    B. ( \varphi = \frac{\pi}{6} )
    C. 函数 ( f(x) ) 的图象关于直线 ( x = \frac{\pi}{3} ) 对称
    D. 函数 ( f(x) ) 在区间 ([0, \frac{\pi}{2}]) 上单调递增

11. 如图,在正方体 ( ABCD-A_1B_1C_1D_1 ) 中，点 ( E, F, G ) 分别为棱 ( AB, BC, BB_1 ) 的中点，则（ ）
    A. ( A_1C \perp ) 平面 ( EFG )
    B. 平面 ( EFG ) 与平面 ( ABCD ) 所成角的余弦值为 (\frac{\sqrt{6}}{3})
    C. 点 ( C_1 ) 到平面 ( EFG ) 的距离为 (\frac{2\sqrt{3}}{3})
    D. 直线 ( AA_1 ) 与平面 ( EFG ) 所成角的正弦值为 (\frac{\sqrt{3}}{3})

填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）

12. 已知 ( \sin \alpha = \frac{3}{5} )，且 ( \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi) )，则 ( \tan \alpha = \underline{\hspace{2cm}} )。

13. 已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1 (a > 0) ) 的一条渐近线方程为 ( y = \frac{3}{2}x )，则该双曲线的离心率为 \underline{\hspace{2cm}}。

14. 已知 ( a > 0 )，( b > 0 )，且 ( a + 2b = 1 )，则 ( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} ) 的最小值为 \underline{\hspace{2cm}}。

解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15. （13分）
    在 (\triangle ABC) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且满足 ( \frac{\cos A}{\cos B} = \frac{a}{b} )。
    （1）求角 ( B ) 的大小；
    （2）若 ( b = 2\sqrt{3} )，( a + c = 6 )，求 (\triangle ABC) 的面积。

16. （15分）
    已知数列 ({a_n}) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且满足 ( S_n = 2a_n - 1 )。
    （1）求数列 ({a_n}) 的通项公式；
    （2）设 ( b_n = \log_2 a_n )，求数列 (\left{ \frac{1}{bn \cdot b{n+1}} \right}) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。

17. （15分）
    如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 为矩形，( PA \perp ) 平面 ( ABCD )，( PA = AD = 2 )，( AB = 1 )，点 ( E ) 为线段 ( PD ) 的中点。
    （1）求证：( PB \parallel ) 平面 ( AEC )；
    （2）求二面角 ( C-AE-D ) 的余弦值。

18. （17分）
    已知椭圆 ( C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( \left(1, \frac{3}{2}\right) )。
    （1）求椭圆 ( C ) 的标准方程；
    （2）设直线 ( l: y = kx + m ) 与椭圆 ( C ) 交于 ( A, B ) 两点，若以 ( AB ) 为直径的圆经过坐标原点 ( O )，求实数 ( m ) 的取值范围。

19. （17分）
    已知函数 ( f(x) = e^x - ax - 1 )（( e ) 为自然对数的底数）。
    （1）讨论函数 ( f(x) ) 的单调性；
    （2）当 ( a > 0 ) 时，若函数 ( f(x) ) 有两个零点 ( x_1, x_2 )，求证：( x_1 + x_2 < 0 )。

（试卷结束）

高二上学期数学期末考试试卷（2025）参考答案

选择题

1. A
   ( A = {1, 2} )，( B = {1, 2, 3, 4} )，∴ ( A \cap B = {1, 2} )

2. D
   ( z = \frac{2+i}{1-i} = \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i )，共轭复数为 ( \frac{1}{2} - \frac{3}{2}i )，对应点位于第四象限

3. A
   ∵ ( \vec{a} \perp \vec{b} )，∴ ( 1 \cdot m + 2 \cdot (-1) = 0 )，解得 ( m = 2 )

4. A
   由 ( \begin{cases} x+1 > 0 \ 4-x \geq 0 \end{cases} ) 得 ( -1 < x \leq 4 )

5. A
   在等差数列中，( a_3 + a_7 = 2a_5 = 10 )，∴ ( a_5 = 5 )

6. A
   ( r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 )，( \sin\alpha = \frac{4}{5} )，( \cos\alpha = -\frac{3}{5} )，
   ( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \times \frac{4}{5} \times (-\frac{3}{5}) = -\frac{24}{25} )

7. C
   圆方程化为标准形式：( (x-2)^2 + (y-1)^2 = 4 )，圆心 ( (2,1) )，半径 ( r=2 )
   由圆心到直线距离 ( d = \frac{|2k-1+1|}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}} = 2 )，解得 ( k=0 ) 或 ( k=\frac{4}{3} )

8. B
   作出 ( f(x) ) 的图象，当 ( 0 < a < 1 ) 时，方程 ( f(x)=a ) 有三个不相等的实数根

多选题

9. ACD
   B错误，反例：( a=1, b=-2 )，( a>b ) 但 ( a^2 < b^2 )

10. ABD
    由图象可得周期 ( T=\pi )，∴ ( \omega=2 )；由图象过点 ( (0, \frac{1}{2}) ) 可得 ( \varphi=\frac{\pi}{6} )；
    对称轴为 ( x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2} )，∴ ( x=\frac{\pi}{3} ) 不是对称轴；
    在 ( [0, \frac{\pi}{2}] ) 上，( 2x+\frac{\pi}{6} \in [\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}] )，函数先增后减

11. BCD
    A错误，( A_1C ) 与平面 ( EFG ) 不垂直；
    建立空间直角坐标系计算可得B、C、D正确

填空题

12. ( -\frac{3}{4} )
    ∵ ( \alpha \in (\frac{\pi}{2}, \pi) )，∴ ( \cos\alpha = -\sqrt{1-\sin^2\alpha} = -\frac{4}{5} )，( \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = -\frac{3}{4} )

13. ( \frac{\sqrt{13}}{2} )
    渐近线方程为 ( y = \frac{3}{a}x = \frac{3}{2}x )，∴ ( a=2 )，( c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13} )，
    离心率 ( e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2} )

14. 9
    ( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} = \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{b}\right)(a+2b) = 1 + \frac{2b}{a} + \frac{2a}{b} + 4 \geq 5 + 2\sqrt{\frac{2b}{a} \cdot \frac{2a}{b}} = 5+4=9 )，
    当且仅当 ( \frac{2b}{a} = \frac{2a}{b} ) 即 ( a=b=\frac{1}{3} ) 时取等号

解答题

15. 解：
    （1）由正弦定理及已知得：( \frac{\cos A}{\cos B} = \frac{\sin A}{\sin B} )
    即 ( \sin B \cos A = \cos B \sin A )，∴ ( \sin(B-A) = 0 )
    又 ( A, B \in (0, \pi) )，∴ ( B-A = 0 ) 或 ( B-A = \pi )（舍）
    故 ( B = A )，又 ( A+B+C=\pi )，∴ ( B = \frac{\pi}{3} ) 或 ( B = A = \frac{\pi-C}{2} )
    结合三角形内角和，得 ( B = \frac{\pi}{3} )

（2）由余弦定理：( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B )
即 ( 12 = a^2 + c^2 - ac = (a+c)^2 - 3ac = 36 - 3ac )
∴ ( ac = 8 )
故 ( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2} \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} )

16. 解：
    （1）当 ( n=1 ) 时，( S_1 = 2a_1 - 1 )，∴ ( a_1 = 1 )
    当 ( n \geq 2 ) 时，( a_n = Sn - S{n-1} = (2an - 1) - (2a{n-1} - 1) = 2an - 2a{n-1} )
    ∴ ( an = 2a{n-1} )
    故数列 ({a_n}) 是以1为首项，2为公比的等比数列
    ∴ ( a_n = 2^{n-1} )

（2）由（1）得：( b_n = \log_2 2^{n-1} = n-1 )
∴ ( \frac{1}{bn \cdot b{n+1}} = \frac{1}{(n-1)n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \quad (n \geq 2) )
当 ( n=1 ) 时，( b_1=0 )，此项无意义，从 ( n=2 ) 开始求和
( T_n = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) = 1 - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n} )

17. 解：
    （1）连接 ( BD ) 交 ( AC ) 于点 ( O )，连接 ( OE )
    ∵ ( ABCD ) 为矩形，∴ ( O ) 为 ( BD ) 中点
    又 ( E ) 为 ( PD ) 中点，∴ ( OE \parallel PB )
    ∵ ( OE \subset ) 平面 ( AEC )，( PB \not\subset ) 平面 ( AEC )
    ∴ ( PB \parallel ) 平面 ( AEC )

（2）以 ( A ) 为原点，( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AP} ) 的方向分别为 ( x, y, z ) 轴正方向建立空间直角坐标系
则 ( A(0,0,0), C(1,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2), E(0,1,1) )
设平面 ( AEC ) 的法向量为 ( \vec{n} = (x,y,z) )
∵ ( \