- 本试卷满分150分,考试时间120分钟。
- 答题前,请将姓名、班级、考号填写清楚。
- 答案请写在答题卡指定位置。
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知集合 ( A = {x | -2 < x < 3} )， ( B = {x | x^2 - 4x \leq 0} )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( {x | 0 \leq x < 3} ) B. ( {x | -2 < x \leq 4} ) C. ( {x | 0 < x < 3} ) D. ( {x | 0 \leq x \leq 4} )
命题“ ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) B. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} < 2 ) C. ( \exists x \leq 0, \, x + \frac{1}{x} \geq 2 ) D. ( \exists x > 0, \, x + \frac{1}{x} \leq 2 )
函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ） A. ([2, 3) \cup (3, +\infty)) B. ((2, 3) \cup (3, +\infty)) C. ([2, +\infty)) D. ((3, +\infty))
已知 ( a, b, c \in \mathbb{R} )，且 ( a > b )，则下列不等式一定成立的是（ ） A. ( a^2 > b^2 ) B. ( \frac{1}{a} < \frac{1}{b} ) C. ( a|c| > b|c| ) D. ( a + c > b + c )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2x - 1, & x > 1 \end{cases} )，则 ( f(f(0)) = )（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
设 ( a = 2^{0.3} )， ( b = 0.3^2 )， ( c = \log_{2} 0.3 )，则 ( a, b, c ) 的大小关系是（ ） A. ( c < b < a ) B. ( b < a < c ) C. ( c < a < b ) D. ( b < c < a )
函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在的大致区间是（ ） A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3) D. (3, 4)
已知函数 ( f(x) = ax^3 + bx + 2 )， 且 ( f(2024) = 5 )， 则 ( f(-2024) = )（ ） A. -5 B. -1 C. 1 D. 5
若函数 ( y = x^2 - 4x + 1 ) 在区间 ([a, a+2]) 上单调递减，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( (-\infty, 2] ) B. ( [0, 2] ) C. ( [2, +\infty) ) D. ( (-\infty, 0] )
设奇函数 ( f(x) ) 在 ((0, +\infty)) 上单调递增，且 ( f(2) = 0 )，则不等式 ( \frac{f(x) - f(-x)}{x} < 0 ) 的解集为（ ） A. ( (-2, 0) \cup (0, 2) ) B. ( (-\infty, -2) \cup (0, 2) ) C. ( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) ) D. ( (-2, 0) \cup (2, +\infty) )
某食品的保鲜时间 ( y )（单位：小时）与储藏温度 ( x )（单位：℃）满足函数关系 ( y = e^{kx+b} ) （ ( e = 2.718... ) 为自然对数的底数， ( k, b ) 为常数），若该食品在 0℃ 时的保鲜时间是 192 小时，在 20℃ 时的保鲜时间是 24 小时，则该食品在 30℃ 的保鲜时间大约是（ ） A. 8小时 B. 10小时 C. 12小时 D. 14小时
已知函数 ( f(x) = |\lg x| )，若 ( 0 < a < b )，且 ( f(a) = f(b) )，则 ( a + 2b ) 的取值范围是（ ） A. ( (2\sqrt{2}, +\infty) ) B. ( [2\sqrt{2}, +\infty) ) C. ( (3, +\infty) ) D. ( [3, +\infty) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
计算： ( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{1}{3}} + (\log_3 2) \cdot (\log_2 9) = )__。
已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m^2 - m - 2} ) 的图象关于 ( y ) 轴对称，则 ( m = )__。
已知 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的偶函数，且在 ( [0, +\infty) ) 上单调递增，若 ( f(1) = 0 )，则不等式 ( f(\log_2 x) < 0 ) 的解集为__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2ax, & x \leq 2 \ (2-a)x + 1, & x > 2 \end{cases} ) 是 ( \mathbb{R} ) 上的增函数，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = {x | 3 \leq x < 7} )， ( B = {x | 2 < x < 10} )。 (1) 求 ( A \cup B )， ( (C_U A) \cap B )； (2) 若集合 ( C = {x | x > a} )，且 ( B \cap C = C )，求实数 ( a ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 1} )。 (1) 判断函数 ( f(x) ) 在区间 ( (1, +\infty) ) 上的单调性，并用定义证明； (2) 求函数 ( f(x) ) 在区间 ( [2, 5] ) 上的值域。
（12分）已知关于 ( x ) 的不等式 ( ax^2 - 3x + 2 > 0 ) 的解集为 ( {x | x < 1 \text{ 或 } x > b} )。 (1) 求实数 ( a, b ) 的值； (2) 解关于 ( x ) 的不等式 ( \frac{x - c}{ax - b} \leq 0 ) （( c ) 为常数）。
（12分）已知函数 ( f(x) = \log_a (3 - x) + \log_a (x + 1) ) （ ( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 ) ）。 (1) 求函数 ( f(x) ) 的定义域； (2) 若函数 ( f(x) ) 的最大值为 2，求 ( a ) 的值。
（12分）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数： [ R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000, & x > 400 \end{cases} ] ( x ) 是仪器的月产量（单位：台）。 (1) 将月利润 ( f(x) ) 表示为月产量 ( x ) 的函数； (2) 当月产量为何值时，公司所获月利润最大？最大月利润是多少元？
（12分）已知定义在 ( (-1, 1) ) 上的函数 ( f(x) ) 满足：对任意 ( x, y \in (-1, 1) ) 都有 ( f(x) + f(y) = f\left( \frac{x+y}{1+xy} \right) )，且当 ( x \in (-1, 0) ) 时， ( f(x) > 0 )。 (1) 判断 ( f(x) ) 在 ( (-1, 1) ) 上的奇偶性，并说明理由； (2) 判断 ( f(x) ) 在 ( (-1, 1) ) 上的单调性，并说明理由； (3) 若 ( f\left(\frac{1}{2}\right) = 1 )，试解不等式 ( f(x) + f(x-1) > 1 )。
2025年高一数学必修一综合测试卷（带答案）
选择题答案
A 2. B 3. A 4. D 5. C 6. A 7. B 8. B 9. D 10. A 11. C 12. C
填空题答案13. ( \frac{10}{3} ) （或 ( 3\frac{1}{3} )） 14. ( -1 ) 15. ( (0, \frac{1}{2}) \cup (2, +\infty) ) 16. ( [\frac{4}{3}, 2) )
解答题答案要点
(1) ( A \cup B = {x | 2 < x < 10} )， ( (C_U A) \cap B = {x | 2 < x < 3 \text{ 或 } 7 \leq x < 10} )。 (2) 由 ( B \cap C = C ) 知 ( C \subseteq B )，故 ( a \geq 2 )。
(1) 单调递减，证明：任取 ( x_1, x_2 \in (1, +\infty) ) 且 ( x_1 < x_2 )，计算 ( f(x_1) - f(x_2) = \frac{3(x_2 - x_1)}{(x_1+1)(x_2+1)} > 0 )。 (2) 值域为 ( [\frac{3}{2}, \frac{9}{6}] ) 即 ( [\frac{3}{2}, \frac{3}{2}] )。（利用单调性）
(1) 由题意知 ( 1 ) 和 ( b ) 是方程 ( ax^2 - 3x + 2 = 0 ) 的两根，且 ( a > 0 )，由韦达定理：( 1+b=\frac{3}{a} )， ( 1 \cdot b = \frac{2}{a} )，解得 ( a=1, b=2 )。 (2) 不等式化为 ( \frac{x-c}{x-2} \leq 0 )。 当 ( c > 2 ) 时，解集为 ( (2, c] )； 当 ( c = 2 ) 时，解集为 ( \varnothing )； 当 ( c < 2 ) 时，解集为 ( [c, 2) )。
(1) 由 ( \begin{cases} 3-x > 0 \ x+1 > 0 \end{cases} ) 得 ( -1 < x < 3 )，故定义域为 ( (-1, 3) )。 (2) ( f(x) = \log_a [(3-x)(x+1)] = \log_a (-x^2+2x+3) = \loga [-(x-1)^2+4] )。 当 ( 0 < a < 1 ) 时，真数最大时函数值最小，不符合题意。 当 ( a > 1 ) 时，当真数取得最大值 4 时，( f(x){\text{max}} = \log_a 4 = 2 )，解得 ( a = 2 )。
(1) 总成本函数为 ( C(x) = 20000 + 100x )。 月利润 ( f(x) = R(x) - C(x) = \begin{cases} -\frac{1}{2}x^2 + 300x - 20000, & 0 \leq x \leq 400 \ 60000 - 100x, & x > 400 \end{cases} ) (2) 当 ( 0 \leq x \leq 400 ) 时，( f(x) = -\frac{1}{2}(x-300)^2 + 25000 )，当 ( x=300 ) 时，( f(x)_{\text{max}} = 25000 )。 当 ( x > 400 ) 时，( f(x) = 60000 - 100x ) 单调递减，( f(x) < 20000 )。 故当月产量为300台时，最大月利润为25000元。
(1) 令 ( x = y = 0 )，得 ( f(0) + f(0) = f(0) )，故 ( f(0) = 0 )。 令 ( y = -x )，得 ( f(x) + f(-x) = f(0) = 0 )，故 ( f(-x) = -f(x) )，为奇函数。 (2) 任取 ( -1 < x_1 < x_2 < 1 )，则 ( x_2 - x_1 > 0 )， ( 1 - x_1 x_2 > 0 )。 ( f(x_2) - f(x_1) = f(x_2) + f(-x_1) = f\left( \frac{x_2 - x_1}{1 - x_1 x_2} \right) )。 由 ( -1 < x_1 < x_2 < 1 ) 知 ( 0 < \frac{x_2 - x_1}{1 - x_1 x_2} < 1 )，结合当 ( x \in (-1, 0) ) 时 ( f(x) > 0 ) 及奇函数性质，可推得当 ( x \in (0, 1) ) 时 ( f(x) < 0 )。 ( f\left( \frac{x_2 - x_1}{1 - x_1 x_2} \right) < 0 )，即 ( f(x_2) < f(x_1) )，故 ( f(x) ) 在 ( (-1, 1) ) 上单调递减。 (3) 由 ( f(\frac{1}{2}) = 1 )，且 ( f(x) + f(y) = f\left( \frac{x+y}{1+xy} \right) )，原不等式化为 ( f\left( \frac{2x-1}{1+x(x-1)} \right) > f(\frac{1}{2}) )。 结合定义域 ( \begin{cases} -1 < x < 1 \ -1 < x-1 < 1 \end{cases} ) 得 ( 0 < x < 1 )。 再由单调递减性得 ( \frac{2x-1}{x^2 - x + 1} < \frac{1}{2} )。 解此不等式并结合 ( 0 < x < 1 )，得 ( \frac{1}{3} < x < 1 )。