（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid x^2 - 4x \leq 0 } )，则 ( A \cap B = )（ ） A. ( { x \mid 0 \leq x < 3 } ) B. ( { x \mid -2 < x \leq 4 } ) C. ( { x \mid 0 < x < 3 } ) D. ( { x \mid 0 \leq x \leq 4 } )
函数 ( f(x) = \sqrt{2x - 1} + \frac{1}{x - 3} ) 的定义域是（ ） A. ( \left[ \frac{1}{2}, 3 \right) \cup (3, +\infty) ) B. ( \left( \frac{1}{2}, 3 \right) \cup (3, +\infty) ) C. ( \left[ \frac{1}{2}, +\infty \right) ) D. ( \left( \frac{1}{2}, +\infty \right) )
已知角 ( \alpha ) 的终边经过点 ( P(-3, 4) )，则 ( \sin \alpha + \cos \alpha = )（ ） A. ( -\frac{1}{5} ) B. ( \frac{1}{5} ) C. ( \frac{7}{5} ) D. ( -\frac{7}{5} )
已知 ( a = \log_2 3 )，( b = 2^{0.3} )，( c = 0.3^{0.2} )，则（ ） A. ( a < b < c ) B. ( c < b < a ) C. ( b < a < c ) D. ( c < a < b )
函数 ( f(x) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) ) 的最小正周期是（ ） A. ( \pi ) B. ( 2\pi ) C. ( \frac{\pi}{2} ) D. ( 4\pi )
已知向量 ( \vec{a} = (1, 2) )，( \vec{b} = (x, 4) )，且 ( \vec{a} \parallel \vec{b} )，则 ( x = )（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
不等式 ( \frac{x - 1}{x + 2} \leq 0 ) 的解集是（ ） A. ( (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) ) B. ( [-2, 1] ) C. ( (-2, 1] ) D. ( (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) )
在 ( \triangle ABC ) 中，若 ( \sin A : \sin B : \sin C = 3 : 5 : 7 )，则最大角的大小为（ ） A. ( \frac{\pi}{3} ) B. ( \frac{2\pi}{3} ) C. ( \frac{3\pi}{4} ) D. ( \frac{5\pi}{6} )
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2^x + a, & x > 1 \end{cases} ) 在 ( x = 1 ) 处连续，则 ( a = )（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
将函数 ( y = \sin x ) 的图象上所有点向左平移 ( \frac{\pi}{3} ) 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ( \frac{1}{2} ) 倍，纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式为（ ） A. ( y = \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) ) B. ( y = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) ) C. ( y = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3}\right) ) D. ( y = \sin\left(\frac{x}{2} + \frac{2\pi}{3}\right) )
已知 ( \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) )，( \beta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) )，且 ( \sin(\alpha + \beta) = \frac{5}{13} )，( \cos \beta = \frac{4}{5} )，则 ( \sin \alpha = )（ ） A. ( \frac{33}{65} ) B. ( \frac{16}{65} ) C. ( \frac{56}{65} ) D. ( \frac{63}{65} )
设函数 ( f(x) = \ln(x^2 + 1) - e^{-x} )，则不等式 ( f(2x - 1) < f(x + 2) ) 的解集为（ ） A. ( (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) ) B. ( (-3, 1) ) C. ( (-\infty, 1) ) D. ( (1, +\infty) )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{1}{3}} + \log_4 8 = )__。
已知 ( \tan \theta = 2 )，则 ( \frac{\sin \theta + 2\cos \theta}{2\sin \theta - \cos \theta} = )__。
已知向量 ( \vec{a} )，( \vec{b} ) 满足 ( |\vec{a}| = 2 )，( |\vec{b}| = 3 )，( \vec{a} ) 与 ( \vec{b} ) 的夹角为 ( \frac{\pi}{3} )，则 ( |\vec{a} - 2\vec{b}| = )__。
已知函数 ( f(x) = \sin^2 x + \sqrt{3} \sin x \cos x ) 在区间 ( \left[0, \frac{\pi}{2}\right] ) 上的最大值是__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
（10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid x^2 - 4x - 5 \leq 0 } )，( B = { x \mid 2^x \geq 4 } )。 （1）求 ( A \cup B )； （2）若集合 ( C = { x \mid m - 1 < x < 2m + 1 } )，且 ( C \subseteq A )，求实数 ( m ) 的取值范围。
（12分）已知函数 ( f(x) = 2\cos^2 x + 2\sqrt{3} \sin x \cos x - 1 )。 （1）求函数 ( f(x) ) 的最小正周期和单调递增区间； （2）当 ( x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域。
（12分）在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 所对的边分别为 ( a, b, c )，且满足 ( \frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\cos C}{c} )。 （1）求角 ( C ) 的大小； （2）若 ( c = 2\sqrt{3} )，且 ( \triangle ABC ) 的面积为 ( \sqrt{3} )，求 ( a + b ) 的值。
（12分）已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的函数 ( f(x) = \frac{2^x - 1}{2^x + 1} )。 （1）判断函数 ( f(x) ) 的奇偶性并证明； （2）解不等式 ( f(x^2 - 3x) + f(2x - 6) > 0 )。
（12分）某工厂生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产一件产品，成本增加 100 元，已知总收益 ( R )（元）与年产量 ( x )（件）的关系是： [ R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000, & x > 400 \end{cases} ] （1）将利润 ( L )（元）表示为年产量 ( x )（件）的函数； （2）年产量为多少时，工厂所得利润最大？最大利润是多少？
（12分）已知函数 ( f(x) = \log_a (1 - x) + \log_a (x + 3) )（( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )）。 （1）求函数 ( f(x) ) 的定义域，并判断 ( f(x) ) 的奇偶性； （2）若函数 ( f(x) ) 的最大值为 -2，求实数 ( a ) 的值。
（试卷结束）
高一数学人教版电子5版 2025年上学期期末测试卷（带答案）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题
A
( B = { x \mid x(x-4) \leq 0 } = [0, 4] )，( A \cap B = { x \mid 0 \leq x < 3 } )。A
由 ( 2x - 1 \geq 0 ) 得 ( x \geq \frac{1}{2} )，由 ( x - 3 \neq 0 ) 得 ( x \neq 3 )，故定义域为 ( \left[ \frac{1}{2}, 3 \right) \cup (3, +\infty) )。B
( r = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5 )，( \sin \alpha = \frac{4}{5} )，( \cos \alpha = -\frac{3}{5} )，和为 ( \frac{1}{5} )。B
( a = \log_2 3 \in (1, 2) )，( b = 2^{0.3} > 1 )，( c = 0.3^{0.2} \in (0, 1) )，且 ( b > a )，故 ( c < a < b )。A
最小正周期 ( T = \frac{2\pi}{2} = \pi )。A
由 ( \vec{a} \parallel \vec{b} ) 得 ( 1 \times 4 - 2x = 0 )，解得 ( x = 2 )。C
由数轴标根法可得解集为 ( (-2, 1] )。B
由正弦定理，( a : b : c = 3 : 5 : 7 )，设 ( a = 3k )，则 ( b = 5k )，( c = 7k )，最大角为 ( C )，由余弦定理：( \cos C = \frac{9k^2 + 25k^2 - 49k^2}{2 \cdot 3k \cdot 5k} = -\frac{1}{2} )，故 ( C = \frac{2\pi}{3} )。A
由连续性：( \lim{x \to 1^-} f(x) = 2 )，( \lim{x \to 1^+} f(x) = 2 + a )，得 ( 2 + a = 2 )，( a = 0 )。B
左移 ( \frac{\pi}{3} )：( y = \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) )；横坐标缩短为原来的 ( \frac{1}{2} )：( y = \sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) )。D
( \beta \in (0, \frac{\pi}{2}) )，( \cos \beta = \frac{4}{5} )，则 ( \sin \beta = \frac{3}{5} )。
( \alpha + \beta \in (0, \pi) )，( \sin(\alpha + \beta) = \frac{5}{13} < \frac{1}{2} )，故 ( \alpha + \beta ) 可能在 ( (0, \frac{\pi}{6}) ) 或 ( (\frac{5\pi}{6}, \pi) )，但 ( \alpha, \beta ) 均为锐角，( \alpha + \beta < \pi )，且 ( \sin(\alpha + \beta) ) 较小，故 ( \alpha + \beta ) 为锐角，( \cos(\alpha + \beta) = \frac{12}{13} )。
( \sin \alpha = \sin[(\alpha + \beta) - \beta] = \sin(\alpha + \beta)\cos \beta - \cos(\alpha + \beta)\sin \beta = \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{5} - \frac{12}{13} \cdot \frac{3}{5} = \frac{20 - 36}{65} = -\frac{16}{65} )（负值舍去，检查符号）
重新计算：( \sin \alpha = \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{5} - \left( \frac{12}{13} \right) \cdot \frac{3}{5} = \frac{20}{65} - \frac{36}{65} = -\frac{16}{65} )（不符合 ( \alpha ) 为锐角）
故 ( \alpha + \beta ) 应为钝角，( \cos(\alpha + \beta) = -\frac{12}{13} )，则
( \sin \alpha = \frac{5}{13} \cdot \frac{4}{5} - \left( -\frac{12}{13} \right) \cdot \frac{3}{5} = \frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{56}{65} )。
选项 C 正确。B
( f(x) ) 定义域为 ( \mathbb{R} )，( f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} + e^{-x} )，当 ( x \geq 0 ) 时 ( f'(x) > 0 )，当 ( x < 0 ) 时符号不定，但 ( f(x) ) 为偶函数（检查：( f(-x) = \ln(x^2+1) - e^{x} \neq f(x) )），实际上非奇非偶。
考虑单调性：( f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} + e^{-x} )，当 ( x > 0 ) 时 ( f'(x) > 0 )，函数递增；当 ( x < 0 ) 时，( f'(x) ) 可能为负，但 ( f(x) ) 在 ( (-\infty, 0) ) 递减？计算 ( f''(x) ) 较繁。
更简单方法：观察 ( f(x) = \ln(x^2+1) - e^{-x} )，( g(x) = \ln(x^2+1) ) 为偶函数，在 ( (-\infty, 0) ) 减，( (0, +\infty) ) 增；( h(x) = -e^{-x} ) 为增函数。( f(x) ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增（因为两项均增）。
故 ( f(2x-1) < f(x+2) \Rightarrow 2x-1 < x+2 \Rightarrow x < 3 )。
但需考虑定义域：无限制，结合选项，选 B ( (-3, 1) ) 可能是解集的一部分？
若 ( f(x) ) 为增函数，则解为 ( x < 3 )，但选项无此，故假设错误。
重新判断单调性：( f'(x) = \frac{2x}{x^2+1} + e^{-x} )，当 ( x < 0 ) 时第一项为负，第二项为正，不能直接判断。
试值：( f(0) = -1 )，( f(1) = \ln 2 - e^{-1} > 0 )，( f(-1) = \ln 2 - e^{1}