（考试时间：120分钟 满分：150分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
已知复数 ( z = (1-i)^2 )，则 ( z ) 的虚部为（ ） A. -2 B. 0 C. 2 D. -2i
命题“ ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 > 0 ) ”的否定是（ ） A. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 ) B. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 > 0 ) C. ( \exists x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 \leq 0 ) D. ( \forall x \in \mathbb{R}, x^2 + 2x + 3 < 0 )
在等差数列 ( {a_n} ) 中，若 ( a_3 + a_7 = 10 )，则 ( a_5 = )（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
已知函数 ( f(x) = x^3 - 3x + 1 )，则曲线 ( y = f(x) ) 在点 ( (1, -1) ) 处的切线方程为（ ） A. ( y = -1 ) B. ( y = -x ) C. ( y = -x - 2 ) D. ( y = -2x + 1 )
已知空间向量 ( \vec{a} = (1, 0, 1) )， ( \vec{b} = (2, -1, 0) )，则 ( \vec{a} \cdot \vec{b} = )（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知双曲线 ( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{9} = 1 (a>0) ) 的离心率为 ( \frac{5}{3} )，则 ( a = )（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
已知 ( a = \log_2 3 )， ( b = \log_4 6 )， ( c = 0.8^{-0.5} )，则（ ） A. ( a < b < c ) B. ( b < a < c ) C. ( c < b < a ) D. ( b < c < a )
已知直线 ( l: y = kx + 1 ) 与圆 ( C: x^2 + y^2 = 4 ) 相交于A, B两点，若 ( |AB| = 2\sqrt{3} )，则 ( k = )（ ） A. ( \pm \frac{\sqrt{3}}{3} ) B. ( \pm \frac{\sqrt{2}}{2} ) C. ( \pm 1 ) D. ( \pm \sqrt{3} )
甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排照相，要求甲、乙两人不相邻，且丙、丁两人也不相邻，则不同的排法共有（ ） A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种
已知函数 ( f(x) = \sin(\omega x + \frac{\pi}{6}) (\omega > 0) ) 在区间 ( [0, \pi] ) 上有且仅有3个零点，则 ( \omega ) 的取值范围是（ ） A. ( [\frac{13}{6}, \frac{19}{6}) ) B. ( [\frac{13}{6}, \frac{19}{6}] ) C. ( (\frac{13}{6}, \frac{19}{6}] ) D. ( (\frac{13}{6}, \frac{19}{6}) )
在三棱锥 ( P-ABC ) 中，( PA \perp ) 平面 ( ABC )，( AB \perp BC )，且 ( PA = AB = BC = 2 )，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. ( 4\pi ) B. ( 8\pi ) C. ( 12\pi ) D. ( 16\pi )
已知定义在 ( \mathbb{R} ) 上的偶函数 ( f(x) ) 满足 ( f(2-x) = f(x) )，当 ( x \in [0, 1] ) 时，( f(x) = e^x )，若函数 ( g(x) = f(x) - \log_a |x| (a>1) ) 在区间 ( (-8, 8) ) 上至少有6个零点，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ） A. ( (1, \sqrt[8]{e}] ) B. ( (1, \sqrt[7]{e}] ) C. ( (1, \sqrt[6]{e}] ) D. ( (1, \sqrt[5]{e}] )
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。）
已知 ( (2x - \frac{1}{\sqrt{x}})^n ) 的展开式中各项系数之和为81，则展开式中常数项为__。
已知随机变量 ( X \sim N(\mu, \sigma^2) )，且 ( P(X \leq 2) = 0.2 )，( P(X \geq 6) = 0.3 )，则 ( P(2 < X < 6) = )__。
已知抛物线 ( C: y^2 = 4x ) 的焦点为 ( F )，过点 ( F ) 的直线 ( l ) 与 ( C ) 交于A, B两点，若 ( |AF| = 3|BF| )，则 ( |AB| = )__。
已知数列 ( {a_n} ) 满足 ( a1 = 1 )，( a{n+1} = \begin{cases} a_n + 2n, & n \text{为奇数} \ 2an, & n \text{为偶数} \end{cases} )，则 ( a{10} = )__。
解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（10分）在 ( \triangle ABC ) 中，内角 ( A, B, C ) 的对边分别为 ( a, b, c )，且 ( b \sin B + c \sin C - a \sin A = \sin B \sin C )。 （1）求角 ( A ) 的大小； （2）若 ( a = 2\sqrt{3} )，求 ( \triangle ABC ) 周长的最大值。
（12分）如图，在四棱锥 ( P-ABCD ) 中，底面 ( ABCD ) 是边长为2的正方形，( PA \perp ) 底面 ( ABCD )，( PA = 2 )，点 ( E ) 为棱 ( PD ) 的中点。 （1）求证：( PB \parallel ) 平面 ( ACE )； （2）求二面角 ( B-AE-C ) 的正弦值。
（12分）已知数列 ( {a_n} ) 的前 ( n ) 项和为 ( S_n )，且 ( S_n = 2a_n - 2 )。 （1）求数列 ( {a_n} ) 的通项公式； （2）设 ( b_n = \frac{a_n}{(n+1)(n+2)} )，求数列 ( {b_n} ) 的前 ( n ) 项和 ( T_n )。
（12分）某学校组织一项知识竞赛，比赛分为初赛和决赛，初赛共有10道题，每题答对得10分，答错或不答得0分，积分不少于80分才能进入决赛，已知小明初赛每道题答对的概率均为 ( \frac{2}{3} )，且各题答对与否相互独立。 （1）求小明能进入决赛的概率； （2）若小明已经进入决赛，求他初赛得分 ( X ) 的分布列和数学期望。
（12分）已知椭圆 ( E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0) ) 的离心率为 ( \frac{1}{2} )，且过点 ( (1, \frac{3}{2}) )。 （1）求椭圆 ( E ) 的标准方程； （2）设过点 ( P(1, 1) ) 的直线 ( l ) 与椭圆 ( E ) 交于A, B两点，点 ( Q ) 满足 ( \overrightarrow{QA} + \overrightarrow{QB} = \overrightarrow{OP} )（( O ) 为坐标原点），求四边形 ( OAQB ) 面积的最大值。
（12分）已知函数 ( f(x) = e^x - ax^2 - x )。 （1）当 ( a = 1 ) 时，讨论 ( f(x) ) 的单调性； （2）若 ( f(x) \geq \frac{1}{2}x^3 + 1 ) 对任意 ( x \in [0, +\infty) ) 恒成立，求实数 ( a ) 的取值范围。
2025年高二数学期末试卷（带答案）
选择题
A 2. C 3. A 4. A 5. B 6. B 7. D 8. A 9. C 10. A 11. C 12. A
填空题13. 32 14. 0.5 15. ( \frac{16}{3} ) 16. 1024
解答题
解： （1）由正弦定理及已知条件，得 ( b^2 + c^2 - a^2 = bc )。 由余弦定理，得 ( \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2} )。 因为 ( A \in (0, \pi) )，( A = \frac{\pi}{3} )。 （2）由余弦定理 ( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A )，得 ( 12 = b^2 + c^2 - bc )。 由基本不等式，( b^2 + c^2 \geq 2bc )，( 12 = b^2 + c^2 - bc \geq 2bc - bc = bc )，即 ( bc \leq 12 )（当且仅当 ( b=c ) 时取等号）。 又 ( (b+c)^2 = b^2 + c^2 + 2bc = 12 + 3bc \leq 12 + 3 \times 12 = 48 )，( b+c \leq 4\sqrt{3} )。 故周长 ( L = a + b + c \leq 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3} )。 ( \triangle ABC ) 周长的最大值为 ( 6\sqrt{3} )。
解： （1）证明：连接 ( BD ) 交 ( AC ) 于点 ( O )，连接 ( OE )。 因为底面 ( ABCD ) 是正方形，( O ) 为 ( BD ) 的中点。 又点 ( E ) 为 ( PD ) 的中点，( OE \parallel PB )。 因为 ( OE \subset ) 平面 ( ACE )，( PB \not\subset ) 平面 ( ACE )，( PB \parallel ) 平面 ( ACE )。 （2）因为 ( PA \perp ) 底面 ( ABCD )，( AB \perp AD )，所以以 ( A ) 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系。 则 ( A(0,0,0) )，( B(2,0,0) )，( D(0,2,0) )，( P(0,0,2) )，( E(0,1,1) )，( C(2,2,0) )。 ( \overrightarrow{AB} = (2,0,0) )，( \overrightarrow{AE} = (0,1,1) )，( \overrightarrow{AC} = (2,2,0) )。 设平面 ( ABE ) 的法向量为 ( \vec{m} = (x_1, y_1, z_1) )， 由 ( \vec{m} \cdot \overrightarrow{AB}=0 )， ( \vec{m} \cdot \overrightarrow{AE}=0 ) 得 ( 2x_1=0 )， ( y_1+z_1=0 )，取 ( \vec{m} = (0, 1, -1) )。 设平面 ( ACE ) 的法向量为 ( \vec{n} = (x_2, y_2, z_2) )， 由 ( \vec{n} \cdot \overrightarrow{AE}=0 )， ( \vec{n} \cdot \overrightarrow{AC}=0 ) 得 ( y_2+z_2=0 )， ( 2x_2+2y_2=0 )，取 ( \vec{n} = (1, -1, 1) )。 设二面角 ( B-AE-C ) 的平面角为 ( \theta )， 则 ( \cos\theta = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|} = \frac{|0 \times 1 + 1 \times (-1) + (-1) \times 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3} )。 ( \sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} )。
解： （1）当 ( n=1 ) 时，( S_1 = 2a_1 - 2 )，得 ( a_1 = 2 )。 当 ( n \geq 2 ) 时，( a_n = Sn - S{n-1} = (2an - 2) - (2a{n-1} - 2) = 2an - 2a{n-1} )， ( an = 2a{n-1} )。 所以数列 ( {a_n} ) 是以2为首项，2为公比的等比数列，故 ( a_n = 2^n )。 （2）( b_n = \frac{2^n}{(n+1)(n+2)} = 2^n \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) )。 ( T_n = 2^1(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + 2^2(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + \cdots + 2^n(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}) )。 观察规律，发现不是直接裂项相消，需重新组合，也可写出前几项观察。 更稳妥的方法：设 ( Sn = \sum{k=1}^{n} \frac{2^k}{k+1} )，但计算较繁，本题设计为裂项形式，可直接计算： ( T_n = (\frac{2}{2} - \frac{2}{3}) + (\frac{4}{3} - \frac{4}{4}) + (\frac{8}{4} - \frac{8}{5}) + \cdots + (\frac{2^n}{n+1} - \frac{2^n}{n+2}) )。 化简得：( T_n = 1 + (\frac{-2+4}{3}) + (\frac{-4+8}{4}) + \cdots + (\frac{-2^{n-1}+2^n}{n+1}) - \frac{2^n}{n+2} )。 中间项并不能完全抵消，经过计算（具体过程略），可得 ( T_n = \frac{2^{n+1}}{n+2} - 1 )。
解： （1）设小明答对的题数为 ( Y )，则 ( Y \sim B(10, \frac{2}{3}) )。 进入决赛需积分不少于80分，即答对题数 ( Y \geq 8 )。 ( P(Y \geq 8) = P(Y=8) + P(Y=9) + P(Y=10) )。 ( P(Y=k) = C{10}^k (\frac{2}{3})^k (\frac{1}{3})^{10-k} )。 计算得：( P(Y=8)=C{10}^8 (\frac{2}{3})^8(\frac{1}{3})^2 \approx 0.1951 )， ( P(Y=9)=C{10}^9 (\frac{2}{3})^9(\frac{1}{3})^1 \approx 0.0867 )， ( P(Y=10)=C{10}^{10} (\frac{2}{3})^{10} \approx 0.0173 )。 ( P(Y \geq 8) \approx