（本试卷参考电子版课本内容编制）
选择题（每题5分，共40分）
（空间几何体）已知一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. 15π
B. 20π
C. 24π
D. 30π（点、直线、平面之间的位置关系）已知直线 (l) 与平面 (\alpha) 平行，直线 (m) 在平面 (\alpha) 内，则直线 (l) 与直线 (m) 的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 平行或异面（直线与方程）过点 (A(1,2)) 且与直线 (2x - 3y + 1 = 0) 垂直的直线方程是（ ）
A. (3x + 2y - 7 = 0)
B. (2x + 3y - 8 = 0)
C. (3x - 2y + 1 = 0)
D. (2x - 3y + 4 = 0)（圆与方程）圆心为 (C(2,-1))，且经过点 (P(5,3)) 的圆的标准方程是（ ）
A. ((x-2)^2 + (y+1)^2 = 25)
B. ((x+2)^2 + (y-1)^2 = 25)
C. ((x-2)^2 + (y+1)^2 = 5)
D. ((x+2)^2 + (y-1)^2 = 5)（空间直角坐标系）在空间直角坐标系中，点 (A(1, -2, 3)) (xOy) 平面对称的点的坐标是（ ）
A. ((1, -2, -3))
B. ((-1, 2, 3))
C. ((-1, -2, 3))
D. ((1, 2, 3))（立体几何初步）下列命题正确的是（ ）
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
C. 若一条直线平行于一个平面，则它平行于这个平面内的所有直线
D. 若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（直线的倾斜角与斜率）已知直线 (l) 的倾斜角为 (120^\circ)，则直线 (l) 的斜率为（ ）
A. (\sqrt{3})
B. (-\sqrt{3})
C. (\frac{\sqrt{3}}{3})
D. (-\frac{\sqrt{3}}{3})（圆的方程）方程 (x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0) 表示的图形是（ ）
A. 一个点
B. 一个圆
C. 一条直线
D. 不表示任何图形
填空题（每题5分，共20分）
（空间几何体的体积）若一个球的体积为 (36\pi)，则该球的半径为__。
（直线与方程）已知点 (A(0,1))，(B(3,4))，则线段 (AB) 的垂直平分线方程是__。
（点、线、面关系）在正方体 (ABCD-A_1B_1C_1D_1) 中，异面直线 (A_1B) 与 (AD_1) 所成角的大小为__。
（圆与方程）直线 (y = x + 1) 被圆 (x^2 + y^2 = 2) 所截得的弦长为__。
解答题（共40分）
（10分）（立体几何综合）
如图，在四棱锥 (P-ABCD) 中，底面 (ABCD) 是正方形，(PA \perp) 底面 (ABCD)。
（1）求证：(BD \perp) 平面 (PAC)；
（2）若 (PA = AB = 2)，求四棱锥 (P-ABCD) 的体积。（10分）（直线与圆综合）
已知直线 (l: x - y + 2 = 0) 和圆 (C: x^2 + y^2 - 2x - 4y + m = 0)。
（1）若直线 (l) 与圆 (C) 相切，求实数 (m) 的值；
（2）若 (m = 0)，求直线 (l) 被圆 (C) 所截得的弦长。（10分）（空间向量应用）
已知空间三点 (A(1,0,0))，(B(0,2,0))，(C(0,0,3))。
（1）求以 (\overrightarrow{AB})，(\overrightarrow{AC}) 为邻边的平行四边形的面积；
（2）求点 (D) 的坐标，使得四边形 (ABCD) 为平行四边形。（10分）（综合探究）
已知圆 (M: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4)，直线 (l) 过点 (P(3,1))。
（1）若直线 (l) 与圆 (M) 相切，求直线 (l) 的方程；
（2）若直线 (l) 的倾斜角为 (45^\circ)，求直线 (l) 被圆 (M) 所截得的弦长。
2025年高一数学必修二综合测试卷（带答案）
选择题答案
- A
- D
- A
- A
- A
- D
- B
- A
填空题答案9. 3
10. (3x + 3y - 12 = 0) 或 (x + y - 4 = 0)
11. (60^\circ)
12. (\sqrt{2})
解答题答案13.
（1）证明：∵ (ABCD) 是正方形，∴ (BD \perp AC)。
∵ (PA \perp) 底面 (ABCD)，(BD \subset) 底面 (ABCD)，∴ (PA \perp BD)。
又 (PA \cap AC = A)，∴ (BD \perp) 平面 (PAC)。
（2）体积 (V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times PA = \frac{1}{3} \times (2 \times 2) \times 2 = \frac{8}{3})。
（1）圆 (C) 化为标准方程：((x-1)^2 + (y-2)^2 = 5 - m)，圆心 (C(1,2))，半径 (r = \sqrt{5-m})（(m < 5)）。
圆心到直线 (l) 的距离 (d = \frac{|1-2+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}})。
由相切得 (d = r)，即 (\frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{5-m})，解得 (m = \frac{9}{2})。
（2）当 (m=0) 时，圆 (C: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 5)，半径 (r = \sqrt{5})，圆心到直线距离 (d = \frac{1}{\sqrt{2}})。
弦长 (= 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{5 - \frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{9}{2}} = 3\sqrt{2})。（1）(\overrightarrow{AB} = (-1,2,0))，(\overrightarrow{AC} = (-1,0,3))。
(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -1 & 2 & 0 \ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = (6, 3, 2))。
面积 (S = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{6^2+3^2+2^2} = \sqrt{49} = 7)。
（2）设 (D(x,y,z))，由 (\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = (0,-2,3))，
得 ((x-1, y-0, z-0) = (0,-2,3))，解得 (D(1,-2,3))。（1）当直线斜率不存在时，直线 (x=3)，圆心到直线距离为 (2)，等于半径，满足相切。
当直线斜率存在时，设直线 (y-1 = k(x-3))，即 (kx - y + 1 - 3k = 0)。
圆心 (M(1,2)) 到直线距离 (d = \frac{|k-2+1-3k|}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{|-2k-1|}{\sqrt{k^2+1}} = 2)。
解得 (k = \frac{3}{4})，直线方程为 (y-1 = \frac{3}{4}(x-3))，即 (3x - 4y - 5 = 0)。
综上，直线方程为 (x=3) 或 (3x-4y-5=0)。
（2）倾斜角为 (45^\circ)，斜率 (k=1)，直线方程为 (y-1 = x-3)，即 (x-y-2=0)。
圆心 (M(1,2)) 到直线距离 (d = \frac{|1-2-2|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}})。
弦长 (= 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{4 - \frac{9}{2}} = 2\sqrt{-\frac{1}{2}})（无实根），说明直线与圆不相交。
故弦长不存在（或直线与圆相离）。
试卷说明：本试卷严格依据《高一数学必修二》电子版课本的核心知识点（空间几何体、点线面位置关系、直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系等）进行命题，旨在考查学生的基础知识、空间想象能力与综合应用能力。