选择题（每题5分，共40分）
下列函数中，在区间 ((0, +\infty)) 上单调递增的是（ ）
A. (y = \log_{0.5}x)
B. (y = \frac{1}{x})
C. (y = x^2)
D. (y = 2^{-x})已知复数 (z = 1 + i)，则 (|z^2 - 2z| =)（ ）
A. (0)
B. (1)
C. (2)
D. (\sqrt{2})在等差数列 ({a_n}) 中，(a_3 + a_7 = 10)，则 (a_5 =)（ ）
A. (5)
B. (6)
C. (8)
D. (10)已知向量 (\vec{a} = (1, 2))，(\vec{b} = (m, -1))，若 (\vec{a} \perp \vec{b})，则 (m =)（ ）
A. (2)
B. (-2)
C. (\frac{1}{2})
D. (-\frac{1}{2})若随机变量 (X \sim N(2, \sigma^2))，且 (P(X > 4) = 0.2)，则 (P(0 < X < 2) =)（ ）
A. (0.3)
B. (0.4)
C. (0.5)
D. (0.6)已知椭圆 (\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)) 的离心率为 (\frac{1}{2})，则 (\frac{b}{a} =)（ ）
A. (\frac{\sqrt{3}}{2})
B. (\frac{2}{3})
C. (\frac{1}{2})
D. (\frac{\sqrt{2}}{2})设函数 (f(x) = \ln x - ax) 有零点，则实数 (a) 的取值范围是（ ）
A. ((0, \frac{1}{e}])
B. ([\frac{1}{e}, +\infty))
C. ((0, e])
D. ([e, +\infty))在四面体 (ABCD) 中，(AB = CD = 2)，(AC = BD = 3)，(AD = BC = 4)，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A. (\frac{77\pi}{4})
B. (\frac{81\pi}{4})
C. (\frac{85\pi}{4})
D. (\frac{91\pi}{4})
填空题（每题5分，共20分）
9. 若 (\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3})，则 (\sin 2\theta =)__。
二项式 ((x - \frac{1}{\sqrt{x}})^6) 的展开式中常数项为__。
已知数列 ({a_n}) 满足 (a1 = 1)，(a{n+1} = \frac{a_n}{an + 2})，则 (a{2025} =)__。
已知函数 (f(x) = e^x - mx) 在区间 ([1, 2]) 上存在单调递减区间，则实数 (m) 的取值范围是__。
解答题（共90分）
13. （12分）在 (\triangle ABC) 中，角 (A, B, C) 的对边分别为 (a, b, c)，且 (a \cos B + b \cos A = 2c \cos C)。
（1）求角 (C)；
（2）若 (c = 2\sqrt{3})，求 (\triangle ABC) 面积的最大值。
（12分）如图，在四棱锥 (P-ABCD) 中，底面 (ABCD) 为正方形，(PA \perp) 平面 (ABCD)，(PA = AB = 2)，点 (E) 为 (PD) 的中点。
（1）求证：(PB \parallel) 平面 (ACE)；
（2）求二面角 (B-AE-C) 的余弦值。（14分）已知函数 (f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b) 在 (x = 1) 处取得极值 (2)。
（1）求实数 (a, b) 的值；
（2）若方程 (f(x) = k) 有三个不相等的实数根，求实数 (k) 的取值范围。（16分）已知抛物线 (C: y^2 = 4x) 的焦点为 (F)，过点 (F) 的直线 (l) 与 (C) 交于 (A, B) 两点。
（1）若 (|AB| = 8)，求直线 (l) 的方程；
（2）设点 (M(4, 0))，证明：(\angle AMB) 的角平分线与 (x) 轴垂直。（18分）某校举行数学竞赛，共有 (10) 道选择题，每题有 (4) 个选项，其中只有一个正确，学生甲对每个题目的正确率为 (0.8)，且各题作答相互独立。
（1）求甲恰好答对 (8) 题的概率；
（2）若答对一题得 (5) 分，答错或不答得 (0) 分，求甲的总得分 (X) 的期望和方差；
（3）若学校设定一等奖分数线为 (45) 分，求甲获得一等奖的概率（精确到 (0.001)）。（18分）已知函数 (f(x) = \ln x + \frac{a}{x} (a \in \mathbb{R}))。
（1）讨论 (f(x)) 的单调性；
（2）若 (f(x) \leq x - 1) 恒成立，求实数 (a) 的取值范围。
参考答案
- C
- C
- A
- A
- A
- A
- B
- D
- (-\frac{8}{9})
- (15)
- (\frac{1}{4049})
- (m > e)
- （1）(C = \frac{\pi}{3})；（2）最大值为 (3\sqrt{3})
- （1）略；（2）(\frac{\sqrt{6}}{3})
- （1）(a = 3, b = 1)；（2）(k \in (1, 5))
- （1）(y = \pm (x - 1))；（2）略
- （1）(C_{10}^8 (0.8)^8 (0.2)^2 \approx 0.302)；（2）(E(X) = 40, D(X) = 16)；（3）(P(X \geq 45) \approx 0.107)
- （1）当 (a \leq 0) 时，(f(x)) 在 ((0, +\infty)) 单调递增；当 (a > 0) 时，(f(x)) 在 ((0, a)) 递减，在 ((a, +\infty)) 递增；（2）(a \leq 1)
注：本试卷综合考查人教版高中数学全套10本教材的核心知识点，涵盖函数、几何、概率、代数等内容，难度适中,适用于高三综合复习检测。