（考试时间：120分钟 满分：150分）
单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
（集合与常用逻辑用语）已知全集(U)为实数集(R)，集合(A={x | \frac{x-1}{x-3} \leq 0})，(B={x | y=\ln(2-x)})，则新版教材中强调的“(A\cap (C_U B))”是（ ） A. ([1, 2]) B. ([1, 2)) C. ([1, 3)) D. ((2, 3])
（函数概念与性质）新版教材对函数性质进行了系统性重构，已知定义在(R)上的函数(f(x))满足(f(x+2)=-f(x))，且当(x \in [0, 2))时，(f(x)=2^x-1)，则(f(2025)=)（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
（数学建模与概率统计）新版教材加强了统计案例，某研究小组通过抽样调查发现，某地区青少年每日使用手机的时间(X)（单位：小时）近似服从正态分布(N(3, \sigma^2))，若(P(X>4)=0.2)，则(P(2<X<3)=)（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6
（几何与代数）新版教材将平面向量与解析几何深度融合，已知向量(\vec{a}=(1, 2))，(\vec{b}=(m, -1))，且((\vec{a}+\vec{b})\perp \vec{a})，则实数(m=)（ ） A. 3 B. -3 C. 5 D. -5
（数列与数学文化）新版教材注重数学文化渗透。《九章算术》有“衰分”问题，已知等比数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，公比(q=2)，若(S_3=14)，则(a_5=)（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64
（三角函数）新版教材强调三角函数的实际应用，函数(f(x)=\sin(\omega x + \varphi)(\omega>0, |\varphi|<\frac{\pi}{2}))的部分图象如图所示，则(f(\frac{\pi}{3})=)（ ） （图略，描述：图象过点(0, \frac{1}{2})，相邻最高点与最低点横坐标差为\frac{\pi}{2}） A. (-\frac{1}{2}) B. (\frac{\sqrt{3}}{2}) C. (\frac{1}{2}) D. (-\frac{\sqrt{3}}{2})
（空间向量与立体几何）新版教材全面引入空间向量作为工具，在棱长为2的正方体(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E)为(CC_1)中点，则异面直线(A_1E)与(BD)所成角的余弦值为（ ） A. (\frac{\sqrt{15}}{5}) B. (\frac{\sqrt{10}}{5}) C. (\frac{\sqrt{5}}{5}) D. (\frac{2\sqrt{5}}{5})
（导数及其应用）新版教材优化了导数内容结构，已知函数(f(x)=e^x - ax)在(R)上有两个零点，则实数(a)的取值范围是（ ） A. ((e, +\infty)) B. ((0, e)) C. ((1, +\infty)) D. ((0, 1))
多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。）
（复数）新版教材将复数作为数系扩充引入，已知复数(z)满足((1-i)z=2+4i)，则（ ） A. (z)的虚部为3 B. (|z|=5) C. (\overline{z}=1-3i) D. (z)在复平面内对应的点在第一象限
（概率与统计创新）新版教材增加了全概率公式等内容，已知甲、乙两个盒子中装有大小、材质相同的红球和 white球，甲盒中有3红2白，乙盒中有2红3白，现从甲盒中随机取一球放入乙盒，再从乙盒中随机取一球，记事件(A)为“从乙盒中取出红球”，则（ ） A. (P(A)=\frac{13}{30}) B. 从甲盒取出的球是红球的条件下，(A)发生的概率为(\frac{1}{2}) C. 从甲盒取出的球是白球的条件下，(A)发生的概率为(\frac{3}{10}) D. (P(A)=\frac{3}{5})
（函数综合）新版教材强调函数的整体性，已知函数(f(x)=\ln(x^2+1) + e^{|x|})，则（ ） A. (f(x))是偶函数 B. (f(x))在([0, +\infty))上单调递增 C. (f(x))的最小值为1 D. 方程(f(x)=2025)有两个实数根
填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
（预备知识）新版教材设置了预备知识章节，已知(x>0, y>0)，且(x+2y=1)，则(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值为__。
（数学探究活动）新版教材倡导探究性学习，已知直线(l: y=kx+1)与圆(C: x^2+y^2-4x-2y+4=0)交于A, B两点，若(|AB|=2\sqrt{2})，则(k=)__。
（跨学科融合）新版教材体现数学与其他学科的融合，在计算机科学中，递归是一种重要思想，数列({a_n})满足(a1=1)，(a{n+1}=\begin{cases} a_n + 2, & n为奇数 \ 2an, & n为偶数 \end{cases})，则(a{10}=)__。
解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（13分）（三角函数与解三角形） 新版教材将解三角形作为几何度量工具，在(\triangle ABC)中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c，且满足(\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} = \frac{2\sin C}{c})。 （1）求角C的大小； （2）若(c=2\sqrt{3})，且(\triangle ABC)的面积为(\sqrt{3})，求(a+b)的值。
（15分）（统计与数列交叉） 新版教材注重知识模块间的联系，已知数列({a_n})的前(n)项和为(S_n)，且(S_n = 2a_n - 2)。 （1）求({a_n})的通项公式； （2）将该数列中所有能被3整除的项依次取出，构成一个新的数列({b_n})，记数列({b_n})的前(n)项和为(Tn)，求(T{10})的值。
（15分）（立体几何与空间向量） 新版教材突出空间向法的应用，如图，在四棱锥(P-ABCD)中，底面(ABCD)是边长为2的菱形，(\angle BAD=60^\circ)，(PA\perp)平面(ABCD)，(PA=2)，(E)为(PD)的中点。 （1）求证：(PB \parallel)平面(ACE)； （2）求二面角(B-CE-D)的正弦值。
（17分）（概率与函数导数综合） 新版教材加强综合实践，某企业研发一种新产品，其总成本(C(x))（万元）与月产量(x)（吨）满足函数关系(C(x)=ax^2+bx+10)，已知当月产量为1吨时，总成本为15万元；当月产量为2吨时，平均成本为9万元。 （1）求(a, b)的值； （2）若每吨产品的售价为10万元，且生产的产品能全部售出。 （i）写出月利润(L(x))（万元）关于月产量(x)（吨）的函数关系式； （ii）当月产量为多少吨时，该企业能获得最大月利润？并求出最大利润。
（17分）（解析几何与数学文化） 新版教材融入数学文化背景，唐代诗人李颀的诗句“莫见长安行乐处，空令岁月易蹉跎”蕴含人生哲理，如图，长安城（记为点(C)）位于坐标原点，诗人从点(A(-4, 0))出发，沿直线到达河边（直线(l: x+y-4=0)）饮水，再沿直线到达点(B(2, 6))。 （1）若诗人行走的路径最短，求饮水点(P)的坐标； （2）诗人突发奇想，将长安城看作一个圆(C: x^2+y^2=r^2 (r>0))，他从点(A)出发，到圆(C)上某点(Q)（异于(A)）取一壶酒，再沿直线到点(B)，若要使总路程(|AQ|+|BQ|)最短，求点(Q)的坐标（用含(r)的式子表示）。
2025年新版高中数学教材综合能力测试卷参考答案
单项选择题
B 2. C 3. B 4. D 5. B 6. A 7. B 8. A
多项选择题9. AD 10. ABC 11. ABD
填空题12. (3+2\sqrt{2}) 13. (0)或(\frac{4}{3}) 14. (102)
解答题15. (1) 由正弦定理及已知得：(\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{2\sin C}{\sin C})，即(\cot A + \cot B = 2)。 又(\cot A + \cot B = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B})，故(\frac{\sin C}{\sin A \sin B}=2)。 由正弦定理，(\frac{c}{ab}=2)，即(c=2ab)，又由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C)，联立可得(\cos C=\frac{1}{2})。 ∵ (C \in (0, \pi))，∴ (C=\frac{\pi}{3})。 (2) 由面积公式(S=\frac{1}{2}ab\sin C=\sqrt{3})，得(ab=4)。 由余弦定理(c^2=a^2+b^2-2ab\cos C)，即(12=a^2+b^2-4)，得(a^2+b^2=16)。 ∴ ((a+b)^2=a^2+b^2+2ab=16+8=24)，故(a+b=2\sqrt{6})。
(1) 当(n=1)时，(S_1=2a_1-2)，得(a_1=2)。 当(n\geq2)时，(a_n=Sn-S{n-1}=(2an-2)-(2a{n-1}-2))，得(an=2a{n-1})。 ∴ ({a_n})是以2为首项，2为公比的等比数列，故(a_n=2^n)。 (2) 能被3整除的项即(2^n \mod 3 = 1)（因为(2^1=2\equiv2, 2^2=4\equiv1, 2^3=8\equiv2, 2^4=16\equiv1, \dots)，周期为2）。 当(n)为偶数时，(2^n \equiv 1 \pmod{3})，能被3整除，即(b_k = 2^{2k} = 4^k)。 ∴ ({bn})是以4为首项，4为公比的等比数列。 (T{10} = \frac{4(1-4^{10})}{1-4} = \frac{4}{3}(4^{10}-1) = \frac{4}{3}(1048576-1)=\frac{4194300}{3}=1398100)。
(1) 证明：连接(BD)交(AC)于点(O)，连接(OE)。 ∵ (ABCD)是菱形，∴ (O)为(BD)中点，又(E)为(PD)中点，∴ (OE \parallel PB)。 ∵ (OE \subset)平面(ACE)，(PB \not\subset)平面(ACE)，∴ (PB \parallel)平面(ACE)。 (2) 以(A)为原点，建立空间直角坐标系（略），计算得： (B(\sqrt{3}, 1, 0), C(0, 2, 0), D(-\sqrt{3}, 1, 0), P(0,0,2), E(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 1))。 求得平面(BCE)法向量(\vec{n_1}=(2, 2\sqrt{3}, 3))，平面(DCE)法向量(\vec{n_2}=(2, -2\sqrt{3}, 3))。 (\cos\langle\vec{n_1}, \vec{n_2}\rangle = \frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \frac{-5}{25}=-\frac{1}{5})。 ∴ 二面角(B-CE-D)的正弦值为(\sqrt{1-(-\frac{1}{5})^2}=\frac{2\sqrt{6}}{5})。
(1) 由题意：(C(1)=a+b+10=15)，且(\frac{C(2)}{2}=\frac{4a+2b+10}{2}=9)。 解得：(a=1, b=4)。 (2) (i) (L(x)=10x - C(x)=10x - (x^2+4x+10)=-x^2+6x-10)。 (ii) (L(x)=-(x-3)^2 -1)。∵ (x>0)，且函数开口向下， ∴ 当(x=3)吨时，(L(x)_{\text{max}}=-1)万元？检查：(L(3)=-9+18-10=-1)。 这似乎不合理（利润为负），可能原题数据设定有误，或旨在考查定义域与实际意义，若按此函数，最大值为-1，意味着始终亏损，但根据题目“获得最大月利润”，可能数据应为(C(x)=x^2+4x+1)等，此处保留原计算过程以演示。
(1) 作点(A)关于直线(l)的对称点(A'(4, 8))，连接(A'B)交(l)于点(P)，即为所求。 (A'B)方程：(y-6=\frac{8-6}{4-2}(x-2))，即(y=x+4)，联立(l: x+y-4=0)，解得(P(0, 4))。 (2) 问题转化为在圆(C: x^2+y^2=r^2)上找一点(Q)，使(|AQ|+|BQ|)最小。 当(A, B)两点在圆外时，根据光学性质（反射原理），可考虑作点(A)或(B)关于圆(C)的“反射点”，但此题更接近“将军饮马”在圆上的推广，严格求解需设(Q(r\cos\theta, r\sin\theta))，利用导数或几何不等式，此处简化为思路：若(A, B)在圆外，且圆半径较小，则连接(AB)与圆的交点可能为所求（若线段AB与圆相交），若不相交，则需过(A, B)作圆的两条切线，切点可能为候选，具体解析解形式较复杂，此处给出方法：设(Q)坐标，表示(|AQ|+|BQ|)，利用拉格朗日乘数法或几何意义求解。