（满分：150分，时间：120分钟）
选择题（每题5分，共60分）
已知集合 ( A = { x \mid -2 < x < 3 } )，( B = { x \mid 0 \leq x < 5 } )，则 ( A \cup B = )（ ）
A. ( { x \mid -2 < x < 5 } )
B. ( { x \mid 0 \leq x < 3 } )
C. ( { x \mid -2 < x < 0 } )
D. ( { x \mid 3 \leq x < 5 } )命题“( \forall x > 0, x + \frac{1}{x} \geq 2 )”的否定是（ ）
A. ( \forall x > 0, x + \frac{1}{x} < 2 )
B. ( \exists x > 0, x + \frac{1}{x} < 2 )
C. ( \exists x \leq 0, x + \frac{1}{x} \geq 2 )
D. ( \forall x \leq 0, x + \frac{1}{x} < 2 )函数 ( f(x) = \sqrt{x-2} + \frac{1}{x-3} ) 的定义域是（ ）
A. ( [2,3) \cup (3,+\infty) )
B. ( (2,3) \cup (3,+\infty) )
C. ( [2,+\infty) )
D. ( (2,+\infty) )已知 ( a > b > 0 )，则下列不等式成立的是（ ）
A. ( \frac{1}{a} > \frac{1}{b} )
B. ( a^2 < b^2 )
C. ( \sqrt{a} > \sqrt{b} )
D. ( |a| < |b| )若函数 ( f(x) = x^2 - 2ax + 3 ) 在区间 ( (-\infty, 2] ) 上单调递减，则实数 ( a ) 的取值范围是（ ）
A. ( [2, +\infty) )
B. ( (-\infty, 2] )
C. ( [2, +\infty) )
D. ( (-\infty, 2] )已知 ( f(x) ) 是定义在 ( \mathbb{R} ) 上的奇函数，当 ( x > 0 ) 时，( f(x) = x^2 - 2x )，则 ( f(-1) = )（ ）
A. 1
B. -1
C. 3
D. -3已知幂函数 ( f(x) = (m^2 - 3m + 3)x^{m+1} ) 为偶函数，则 ( m = )（ ）
A. 1
B. 2
C. 1 或 2
D. 3设 ( a = \log_2 3 )，( b = \log_4 6 )，( c = 2^{0.1} )，则（ ）
A. ( a < b < c )
B. ( b < a < c )
C. ( c < a < b )
D. ( b < c < a )函数 ( f(x) = \ln(x+1) - \frac{2}{x} ) 的零点所在区间为（ ）
A. ( (0,1) )
B. ( (1,2) )
C. ( (2,3) )
D. ( (3,4) )已知角 ( \alpha ) 的终边经过点 ( P(-3,4) )，则 ( \sin \alpha + \cos \alpha = )（ ）
A. ( \frac{1}{5} )
B. ( -\frac{1}{5} )
C. ( \frac{7}{5} )
D. ( -\frac{7}{5} )已知 ( \sin(\pi - \alpha) = \frac{3}{5} )，且 ( \alpha ) 为第二象限角，则 ( \tan \alpha = )（ ）
A. ( \frac{3}{4} )
B. ( -\frac{3}{4} )
C. ( \frac{4}{3} )
D. ( -\frac{4}{3} )函数 ( f(x) = \frac{2^x - 2^{-x}}{x^2 + 1} ) 的图象大致为（ ）
A. 关于原点对称
B. ( y ) 轴对称
C. 关于直线 ( y = x ) 对称
D. 没有对称性
填空题（每题5分，共20分）
计算：( \left( \frac{1}{27} \right)^{-\frac{1}{3}} + \log_2 8 - \ln 1 = )__。
若 ( x > 0 )，则 ( x + \frac{4}{x+1} ) 的最小值为__。
已知函数 ( f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leq 1 \ 2^x - a, & x > 1 \end{cases} ) 在 ( \mathbb{R} ) 上单调递增，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
已知函数 ( f(x) = \log_a (x^2 - ax + 3) ) (( a > 0 ) 且 ( a \neq 1 )) 在区间 ( [2, +\infty) ) 上单调递增，则实数 ( a ) 的取值范围是__。
解答题（共70分）
（10分）已知全集 ( U = \mathbb{R} )，集合 ( A = { x \mid 3 \leq x < 7 } )，( B = { x \mid 4 < x \leq 10 } )。
（1）求 ( A \cap B )，( A \cup B )；
（2）求 ( (\complement_U A) \cup B )。（12分）已知函数 ( f(x) = \frac{ax+b}{x^2+1} ) 是定义在 ( [-1,1] ) 上的奇函数，且 ( f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2}{5} )。
（1）求实数 ( a, b ) 的值；
（2）判断函数 ( f(x) ) 在 ( [-1,1] ) 上的单调性,并证明。（12分）已知 ( f(x) = \log_2 (4^x + 1) - kx ) 为偶函数。
（1）求实数 ( k ) 的值；
（2）解不等式 ( f(x) > \frac{1}{2} )。（12分）已知函数 ( f(x) = 2\sin\left( x + \frac{\pi}{6} \right) )。
（1）求函数 ( f(x) ) 的单调递增区间；
（2）当 ( x \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right] ) 时，求函数 ( f(x) ) 的值域。（12分）某工厂生产某种产品，固定成本为 20000 元，每生产一件产品，成本增加 100 元，已知总收益 ( R ) 与年产量 ( x ) 的关系为：
[ R(x) = \begin{cases} 400x - \frac{1}{2}x^2, & 0 \leq x \leq 400 \ 80000, & x > 400 \end{cases} ]
（1）将利润 ( L ) 表示为年产量 ( x ) 的函数；
（2）年产量为多少时，工厂所得利润最大？最大利润是多少？（12分）已知函数 ( f(x) = \log_2 (x+1) )，( g(x) = \log_2 (3x+1) )。
（1）若 ( f(x) \leq g(x) )，求 ( x ) 的取值范围；
（2）若对任意 ( x \in [0, t] )，都有 ( f(x) \leq g(x) \leq f(x) + 1 )，求实数 ( t ) 的最大值。
2025年高一数学上学期期末测试卷（带答案）
选择题答案
1-5: ABACA
6-10: BABBA
11-12: DB
填空题答案
13. ( 5 )
14. ( 3 )
15. ( a \leq 2 )
16. ( (1, 2] )
解答题答案
17.
（1）( A \cap B = { x \mid 4 < x < 7 } )，( A \cup B = { x \mid 3 \leq x \leq 10 } )
（2）( (\complement_U A) \cup B = { x \mid x < 3 \text{ 或 } x > 4 } )
（1）由奇函数得 ( f(0)=0 \Rightarrow b=0 )，由 ( f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5} ) 得 ( a=1 )
（2）在 ( [-1,1] ) 上单调递增，证明略（利用定义或导数）（1）由偶函数得 ( f(-x)=f(x) ) 代入解得 ( k=1 )
（2）( f(x)=\log_2(4^x+1)-x=\log_2\frac{4^x+1}{2^x}=\log_2(2^x+2^{-x}) )
不等式化为 ( 2^x+2^{-x} > \sqrt{2} )，解得 ( x < -\frac{1}{2} ) 或 ( x > \frac{1}{2} )（1）单调递增区间：( \left[ -\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \frac{\pi}{3}+2k\pi \right], k \in \mathbb{Z} )
（2）当 ( x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] ) 时，( f(x) \in [1, 2] )（1）( L(x) = \begin{cases} 300x - \frac{1}{2}x^2 - 20000, & 0 \leq x \leq 400 \ 60000 - 100x, & x > 400 \end{cases} )
（2）当 ( x=300 ) 时，( L_{\max} = 25000 ) 元（1）由 ( \log_2(x+1) \leq \log2(3x+1) ) 得 ( x \geq 0 )
（2）由题意得 ( x+1 \leq 3x+1 \leq 2(x+1) )，解得 ( 0 \leq x \leq 1 )，故 ( t{\max} = 1 )